Упр.430 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Отрезок $$BB_1$$ — биссектриса треугольника $$ABC$$. Докажите, что $$BA > B_1A$$ и $$BC > B_1C$$.
2. Докажите, что выпуклый четырёхугольник является параллелограммом, если его противоположные углы попарно равны.

Пусть $$BB_1$$ — биссектриса угла $$\angle ABC$$, где $$B_1 \in AC$$.

Тогда

$$\angle ABB_1=\angle B_1BC.$$

Рассмотрим треугольник $$ABB_1$$. В нём угол $$\angle ABB_1$$ — внутренний, а угол $$\angle AB_1B$$ — внешний. Поэтому

$$\angle AB_1B=\angle ABB_1+\angle BAB_1>\angle ABB_1.$$

Следовательно, в треугольнике $$ABB_1$$ против большего угла лежит большая сторона, значит

$$AB>AB_1.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$CBB_1$$. Угол $$\angle BB_1C$$ — внешний для треугольника $$ABB_1$$, поэтому

$$\angle BB_1C=\angle ABB_1+\angle B_1AB>\angle ABB_1.$$

Но $$\angle ABB_1=\angle B_1BC$$, значит

$$\angle BB_1C>\angle B_1BC.$$

В треугольнике $$CBB_1$$ против большего угла лежит большая сторона, следовательно

$$BC>BC_1.$$

Итак, доказано, что

$$AB>AB_1,\qquad BC>BC_1.$$

Ответ

$$AB>AB_1,\quad BC>BC_1.$$