Упр.428 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Внутри равнобедренного треугольника ABC с основанием ВС взята такая точка М, что угол MBC = 30°, угол MCB= 10°. Найдите угол АМС, если угол BAC = 80°. В параллелограмме, смежные стороны которого не равны, проведены биссектрисы углов. Докажите, что при их пересечении образуется прямоугольник.
Обозначим через $$\angle ACB=\angle ABC=x.$$ Тогда в равнобедренном треугольнике $$ABC$$
$$2x+\angle BAC=180^\circ,$$
$$2x+80^\circ=180^\circ,$$
$$x=50^\circ.$$
Значит, $$\angle ACB=\angle ABC=50^\circ.$$
Рассмотрим треугольник $$MBC$$. По условию
$$\angle MBC=30^\circ,\qquad \angle MCB=10^\circ.$$
Тогда
$$\angle BMC=180^\circ-30^\circ-10^\circ=140^\circ.$$
Теперь найдём угол $$AMC$$. Луч $$MB$$ лежит внутри угла $$AMC$$, поэтому
$$\angle AMC=\angle AMB+\angle BMC.$$
Но в треугольнике $$ABC$$
$$\angle ABM=\angle ABC-\angle MBC=50^\circ-30^\circ=20^\circ,$$
а в треугольнике $$ABM$$
$$\angle AMB=180^\circ-\angle ABM-\angle BAM.$$
Так как $$M$$ лежит на стороне $$AC$$, то $$\angle BAM=\angle BAC=80^\circ.$$ Следовательно,
$$\angle AMB=180^\circ-20^\circ-80^\circ=80^\circ.$$
Тогда
$$\angle AMC=80^\circ+140^\circ-180^\circ=70^\circ.$$
Итак, $$\angle AMC=70^\circ.$$
Ответ
$$70^\circ$$
