Упр.428 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Внутри равнобедренного треугольника $$ABC$$ с основанием $$BC$$ взята такая точка $$M$$, что $$\angle MBC=30^\circ$$, $$\angle MCB=10^\circ$$. Найдите угол $$\angle AMC$$, если $$\angle BAC=80^\circ$$.
2. В параллелограмме, смежные стороны которого не равны, проведены биссектрисы углов. Докажите, что при их пересечении образуется прямоугольник.

Пусть $$\angle B=\angle C=x.$$ Тогда в равнобедренном треугольнике $$ABC$$

$$2x+\angle BAC=180^\circ,$$

откуда

$$2x+80^\circ=180^\circ,\qquad x=50^\circ.$$

Значит, $$\angle MBC=30^\circ$$ и $$\angle MCB=10^\circ$$, поэтому в треугольнике $$BMC$$

$$\angle BMC=180^\circ-30^\circ-10^\circ=140^\circ.$$

Теперь рассмотрим угол $$AMC$$. Так как точки $$A, M, B$$ лежат на одной прямой, то лучи $$MA$$ и $$MB$$ — противоположные, следовательно

$$\angle AMC=180^\circ-\angle BMC=180^\circ-140^\circ=40^\circ.$$

Ответ: $$40^\circ$$.