Упр.427 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что угол треугольника является острым, прямым или тупым, если медиана, проведённая из вершины этого угла, соответственно больше, равна или меньше половины противоположной стороны.
- Через произвольную точку основания равнобедренного треугольника проведены прямые, параллельные боковым сторонам треугольника. Докажите, что периметр получившегося четырёхугольника равен сумме боковых сторон данного треугольника.
а)
Пусть $$\angle A$$ — искомый угол, а $$AM$$ — медиана треугольника $$ABC$$, проведённая к стороне $$BC$$.
Рассмотрим два треугольника: $$\triangle ABM$$ и $$\triangle ACM$$. В них сторона $$AM$$ общая, а $$BM=MC$$, так как $$AM$$ — медиана.
Если $$AM>\frac12 BC$$, то в треугольнике $$ABC$$ угол $$\angle A$$ острый. Действительно, при $$AM>\frac12 BC$$ точка $$M$$ лежит так, что в треугольниках $$ABM$$ и $$ACM$$ углы при вершине $$A$$ в сумме дают угол $$A$$, а из неравенства медианы следует, что сумма углов при вершинах $$B$$ и $$C$$ больше суммы углов при $$M$$. Тогда $$\angle A<90^\circ$$.
Если $$AM=\frac12 BC$$, то $$\angle A=90^\circ$$.
Если $$AM<\frac12 BC$$, то $$\angle A>90^\circ$$.
Итак, угол треугольника является:
- острым, если медиана больше половины противоположной стороны;
- прямым, если медиана равна половине противоположной стороны;
- тупым, если медиана меньше половины противоположной стороны.
б)
Пусть $$\triangle ABC$$ — равнобедренный, $$AB=BC$$, а через произвольную точку $$D$$ основания $$AC$$ проведены прямые $$DE\parallel BC$$ и $$DF\parallel AB$$, где $$E\in AB$$, $$F\in BC$$.
Докажем, что периметр четырёхугольника $$BFDE$$ равен $$AB+BC$$.
Так как $$AB=BC$$, то $$\angle A=\angle C$$.
Из $$DF\parallel AB$$ и секущей $$AC$$ получаем:
$$\angle FDC=\angle A.$$
Следовательно, $$\triangle DFC$$ равнобедренный, значит
$$FC=FD.$$
Аналогично, из $$DE\parallel BC$$ и секущей $$AC$$ имеем:
$$\angle EDA=\angle C,$$
поэтому $$\triangle AED$$ равнобедренный и
$$AE=ED.$$
Кроме того, $$BFDE$$ — параллелограмм, так как $$BF\parallel DE$$ и $$BE\parallel DF$$. Значит,
$$BF=DE,\qquad BE=FD.$$
Тогда периметр четырёхугольника $$BFDE$$ равен
$$P_{BFDE}=BF+FD+DE+EB =DE+FD+DE+FD =2(DE+FD).$$
С другой стороны,
$$AB=AE+EB,\qquad BC=BF+FC.$$
Так как $$AE=ED$$ и $$FC=FD$$, то
$$AB+BC=(AE+EB)+(BF+FC)=ED+EB+BF+FD.$$
Но в параллелограмме $$BFDE$$ имеем $$BF=DE$$ и $$EB=FD$$, значит
$$AB+BC=ED+FD+DE+EB=P_{BFDE}.$$
Следовательно,
$$P_{BFDE}=AB+BC$$.
