Упр.426 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: В каждом из следующих случаев определите вид треугольника: а) сумма любых двух углов больше 90°; б) каждый угол меньше суммы двух других углов. Стороны параллелограмма равны 10 см и 3 см. Биссектрисы двух углов, прилежащих к большей стороне, делят противоположную сторону на три отрезка. Найдите эти отрезки.

Подробный ответ

1) Если сумма любых двух углов треугольника больше $$90^\circ$$, то каждый угол меньше $$90^\circ$$.

Действительно, пусть, например, $$\angle A \ge 90^\circ$$. Тогда из условия $$\angle B+\angle C>90^\circ$$, а значит

$$\angle A+\angle B+\angle C>180^\circ,$$

что невозможно, так как сумма углов треугольника равна $$180^\circ$$. Следовательно, все углы треугольника острые.

2) Если каждый угол меньше суммы двух других, то треугольник тоже остроугольный.

Пусть, например, $$\angle A \ge 90^\circ$$. Тогда

$$\angle B+\angle C=180^\circ-\angle A \le 90^\circ,$$

и условие $$\angle A<\angle B+\angle C$$ не выполняется. Значит, каждый угол меньше $$90^\circ$$, то есть треугольник остроугольный.

3) Рассмотрим параллелограмм $$ABCD$$, где $$AB=10$$ см, $$AD=3$$ см. Биссектрисы углов $$A$$ и $$B$$ пересекают сторону $$DC$$ в точках $$E$$ и $$F$$ соответственно.

Так как $$ABCD$$ — параллелограмм, то

$$DC \parallel AB,\quad AD \parallel CB,\quad DC=AB=10\text{ см}.$$

Поскольку $$AE$$ — биссектриса угла $$A$$, а $$DC \parallel AB$$, то угол между $$AE$$ и $$DE$$ равен углу между $$AE$$ и $$AB$$. Следовательно, треугольник $$ADE$$ равнобедренный, и

$$DE=AD=3\text{ см}.$$

Аналогично, так как $$BF$$ — биссектриса угла $$B$$ и $$DC \parallel AB$$, треугольник $$FCB$$ равнобедренный, поэтому

$$FC=CB=AD=3\text{ см}.$$

Тогда

$$EF=DC-DE-FC=10-3-3=4\text{ см}.$$