Упр.426 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- В каждом из следующих случаев определите вид треугольника:
а) сумма любых двух углов больше $$90^\circ$$;
б) каждый угол меньше суммы двух других углов. - Стороны параллелограмма равны $$10\ \text{см}$$ и $$3\ \text{см}$$. Биссектрисы двух углов, прилежащих к большей стороне, делят противоположную сторону на три отрезка. Найдите эти отрезки.
Рассмотрим параллелограмм $$ABCD$$, где $$AB=10$$ см, $$AD=3$$ см. Биссектрисы углов $$A$$ и $$B$$ пересекают сторону $$DC$$ в точках $$E$$ и $$F$$ соответственно.
Так как $$ABCD$$ — параллелограмм, то $$DC \parallel AB$$ и $$AD \parallel CB$$.
Рассмотрим точку $$E$$. Прямая $$AE$$ — биссектриса угла $$A$$, значит $$\angle DAE=\angle AEF$$? Нет, удобнее использовать параллельность: поскольку $$DC \parallel AB$$, то угол между $$AE$$ и $$DC$$ равен углу между $$AE$$ и $$AB$$. А так как $$AE$$ — биссектриса, то этот угол равен углу между $$AE$$ и $$AD$$. Следовательно, в треугольнике $$ADE$$ углы при основании равны, значит $$\triangle ADE$$ равнобедренный и
$$DE=AD=3\text{ см}.$$
Аналогично для точки $$F$$: прямая $$BF$$ — биссектриса угла $$B$$, а $$DC \parallel AB$$, поэтому в треугольнике $$FCB$$ углы при основании равны. Значит, $$\triangle FCB$$ равнобедренный и
$$FC=CB=AD=3\text{ см}.$$
Теперь найдём средний отрезок:
$$EF=DC-DE-FC.$$
Так как в параллелограмме $$DC=AB=10\text{ см}$$, получаем
$$EF=10-3-3=4\text{ см}.$$
Ответ: $$DE=3\text{ см},\ EF=4\text{ см},\ FC=3\text{ см}.$$
