Упр.425 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Через каждую вершину данного треугольника проведена прямая, перпендикулярная к биссектрисе треугольника, исходящей из этой вершины. Отрезки этих прямых вместе со сторонами данного треугольника образуют три треугольника. Докажите, что углы этих треугольников соответственно равны.
- Периметр параллелограмма $$ABCD$$ равен $$46\text{ см}$$, $$AB=14\text{ см}$$. Какую сторону параллелограмма пересекает биссектриса угла $$A$$? Найдите отрезки, которые образуются при этом пересечении.
Пусть биссектрисы углов треугольника $$ABC$$ — это $$AM_1$$, $$BM_2$$ и $$CM_3$$. Через вершины $$A$$, $$B$$ и $$C$$ проведены прямые, перпендикулярные соответственно к этим биссектрисам. Обозначим точки пересечения этих прямых так, как на рисунке: $$Q$$, $$P$$, $$R$$.
Докажем, что углы трёх получившихся треугольников равны попарно.
Так как $$AM_1$$ — биссектриса, то
$$\angle M_1AC=\angle BAM_1=\frac12\angle BAC.$$
Поскольку $$AQ\perp AM_1$$, получаем
$$\angle CAR=\angle BAQ=90^\circ-\frac12\angle BAC.$$
Аналогично, так как $$CM_3$$ — биссектриса и $$CP\perp CM_3$$, имеем
$$\angle BCP=\angle ACR=90^\circ-\frac12\angle BCA.$$
Далее, так как $$BM_2$$ — биссектриса и $$BQ\perp BM_2$$, то
$$\angle QBA=\angle CBP=90^\circ-\frac12\angle ABC.$$
Теперь найдём третий угол каждого из треугольников.
Для $$\triangle BPC$$:
$$\angle BPC=180^\circ-\angle PBC-\angle PCB$$
$$=180^\circ-\left(90^\circ-\frac12\angle ABC\right)-\left(90^\circ-\frac12\angle BCA\right) =90^\circ-\frac12\angle BAC.$$
Для $$\triangle CRA$$:
$$\angle CRA=180^\circ-\angle CAR-\angle ACR$$
$$=180^\circ-\left(90^\circ-\frac12\angle BAC\right)-\left(90^\circ-\frac12\angle BCA\right) =90^\circ-\frac12\angle ABC.$$
Для $$\triangle AQB$$:
$$\angle AQB=180^\circ-\angle QAB-\angle QBA$$
$$=180^\circ-\left(90^\circ-\frac12\angle BAC\right)-\left(90^\circ-\frac12\angle ABC\right) =90^\circ-\frac12\angle BCA.$$
Итак, у треугольников $$AQB$$, $$BPC$$ и $$ARC$$ соответственно равны все три угла, значит, эти треугольники подобны.
Ответ
$$\triangle AQB \sim \triangle BPC \sim \triangle ARC.$$
