Упр.424 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Прямые, содержащие биссектрисы внешних углов при вершинах $$B$$ и $$C$$ треугольника $$ABC$$, пересекаются в точке $$O$$. Найдите угол $$BOC$$, если угол $$A$$ равен $$a$$.
- Докажите, что если не все углы выпуклого четырёхугольника равны друг другу, то хотя бы один из них тупой.
Обозначим через $$\angle 1$$ и $$\angle 2$$ углы, на которые внешний угол при вершине $$B$$ разбивается биссектрисой $$BO$$, а через $$\angle 4$$ и $$\angle 5$$ — углы, на которые внешний угол при вершине $$C$$ разбивается биссектрисой $$CO$$.
Так как $$BO$$ и $$CO$$ — биссектрисы внешних углов, то
$$\angle 1=\angle 2,\qquad \angle 4=\angle 5.$$
Обозначим $$\angle BOC$$ через $$x$$. Тогда по свойству вертикальных углов и смежных углов получаем:
$$\angle 1+\angle 2=\beta,\qquad \angle 4+\angle 5=\gamma,$$
где $$\beta$$ и $$\gamma$$ — внешние углы при вершинах $$B$$ и $$C$$ соответственно.
В треугольнике $$ABC$$:
$$\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ.$$
Поскольку внешний и внутренний углы при вершине дополняют друг друга до $$180^\circ$$, имеем
$$\angle B=180^\circ-\beta,\qquad \angle C=180^\circ-\gamma.$$
Тогда
$$\angle A+\bigl(180^\circ-\beta\bigr)+\bigl(180^\circ-\gamma\bigr)=180^\circ,$$
откуда
$$\beta+\gamma=\angle A+180^\circ.$$
Так как $$BO$$ и $$CO$$ — биссектрисы, то
$$\angle 1=\angle 2=\frac{\beta}{2},\qquad \angle 4=\angle 5=\frac{\gamma}{2}.$$
Углы $$\angle 1$$ и $$\angle 3$$ — вертикальные, значит
$$\angle 3=\frac{\beta}{2},$$
а углы $$\angle 5$$ и $$\angle 6$$ — вертикальные, значит
$$\angle 6=\frac{\gamma}{2}.$$
В треугольнике, образованном лучами $$BO$$, $$CO$$ и продолжениями сторон, сумма углов равна $$180^\circ$$:
$$\angle 3+\angle 6+\angle BOC=180^\circ.$$
Следовательно,
$$\angle BOC=180^\circ-\frac{\beta}{2}-\frac{\gamma}{2}=180^\circ-\frac{\beta+\gamma}{2}.$$
Подставим найденное значение $$\beta+\gamma=\angle A+180^\circ$$:
$$\angle BOC=180^\circ-\frac{\angle A+180^\circ}{2}=90^\circ-\frac{1}{2}\angle A.$$
Ответ
$$\angle BOC=90^\circ-\frac{1}{2}\alpha.$$
