Упр.423 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Отрезки $$АВ$$ и $$CD$$ пересекаются в точке $$О$$. Докажите, что $$ОС=OD$$, если $$АС=АО=ВО=BD$$.
2. Какие из следующих букв имеют центр симметрии: А, О, М, X, К?

Рассмотрим треугольники $$\triangle ACO$$ и $$\triangle BOD$$.

Так как прямые $$AB$$ и $$CD$$ пересекаются в точке $$O$$, то $$\angle COA = \angle BOD$$ как вертикальные.

Из условия $$AC = AO$$, значит $$\triangle ACO$$ равнобедренный, поэтому $$\angle ACO = \angle COA$$.

Также $$BD = BO$$, значит $$\triangle BOD$$ равнобедренный, поэтому $$\angle BDO = \angle BOD$$.

Следовательно, $$\angle ACO = \angle BDO$$.

Кроме того,

$$\angle CAO = 180^\circ — \angle ACO — \angle COA,$$
$$\angle DBO = 180^\circ — \angle BDO — \angle BOD.$$

Так как $$\angle ACO = \angle BDO$$ и $$\angle COA = \angle BOD$$, то $$\angle CAO = \angle DBO$$.

Теперь в треугольниках $$\triangle ACO$$ и $$\triangle BOD$$ имеем:

• $$AC = BD$$;
• $$AO = BO$$;
• $$\angle CAO = \angle DBO$$.

Значит, $$\triangle ACO \cong \triangle BOD$$ по двум сторонам и углу между ними. Отсюда соответствующие стороны равны:

$$OC = OD.$$

Ответ: $$OC = OD$$.