Упр.421 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Сторона и два угла одного треугольника равны какой-то стороне и каким-то двум углам другого. Могут ли эти треугольники быть неравными?
2. Даны точки $$A$$, $$B$$ и $$M$$. Постройте точку, симметричную точке $$M$$ относительно середины отрезка $$AB$$.

Пусть в треугольниках $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ выполнено: $$AB=A_1B_1$$, $$\angle A=\angle C_1$$, $$\angle C=\angle A_1$$.

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Если $$\angle C$$ — наименьший угол, то против него лежит наименьшая сторона, значит $$AB$$ — наименьшая сторона треугольника $$ABC$$.

В треугольнике $$A_1B_1C_1$$ угол $$\angle A_1$$ равен $$\angle C$$, следовательно, против него лежит наименьшая сторона $$B_1C_1$$. Но при этом $$A_1B_1=AB$$.

Получается, что в одном треугольнике данная сторона является наименьшей, а в другом — нет. Значит, треугольники могут быть неравными.

Ответ: да, могут; равенство одной стороны и двух углов не гарантирует равенство треугольников, если эта сторона расположена по-разному относительно углов.

Решение

Построим середину отрезка $$AB$$. Для этого проведём окружности с центрами $$A$$ и $$B$$ радиуса $$AB$$. Их точки пересечения обозначим $$C$$ и $$D$$. Тогда прямая $$CD$$ пересекает $$AB$$ в точке $$O$$, причём $$AO=OB$$, то есть $$O$$ — середина отрезка $$AB$$.

Теперь через точки $$O$$ и $$M$$ проведём прямую и отложим на ней по другую сторону от точки $$O$$ отрезок $$OM’$$, равный $$OM$$. Тогда $$O$$ будет серединой отрезка $$MM’$$, а значит, точка $$M’$$ симметрична точке $$M$$ относительно середины отрезка $$AB$$.

Ответ: искомая точка $$M’$$ строится так, что $$O$$ — середина отрезков $$AB$$ и $$MM’$$.