Упр.420 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Задание учебника 2025 года. Докажите, что если угол, прилежащая к нему сторона и сумма двух других сторон одного треугольника соответственно равны углу, прилежащей к нему стороне и сумме двух других сторон другого треугольника, то такие треугольники равны.
2. Задание учебника 2023 года. Докажите, что прямая, содержащая биссектрису равнобедренного треугольника, проведённую к основанию, является осью симметрии треугольника.

Пусть в треугольниках $$\triangle ABC$$ и $$\triangle A_1B_1C_1$$ выполнено:

$$\angle A=\angle A_1,\quad AB=A_1B_1,\quad AC+BC=A_1C_1+B_1C_1.$$

Докажем, что $$\triangle ABC\cong \triangle A_1B_1C_1$$.

Построим треугольник $$ABC$$ по стороне $$AB$$, углу $$A$$ и сумме двух других сторон. На луче, образующем угол $$A$$, отложим отрезок $$AB$$, а на другом луче — отрезок $$AD=AC+BC$$. Затем построим серединный перпендикуляр к отрезку $$BD$$ и обозначим через $$C$$ точку его пересечения с отрезком $$AD$$.

Так как $$C$$ лежит на серединном перпендикуляре к $$BD$$, то

$$CB=CD.$$

Но по построению

$$AC+CB=AD.$$

Подставляя $$CB=CD$$, получаем

$$AC+CD=AD,$$

откуда

$$AC=AD-CD=CB.$$

Следовательно, в треугольнике $$ABC$$ сторона $$AC$$ однозначно определяется по данным $$\angle A$$, $$AB$$ и $$AC+BC$$. Значит, треугольник с такими элементами единственен с точностью до равенства.

Аналогично строится и треугольник $$A_1B_1C_1$$ по данным $$\angle A_1$$, $$A_1B_1$$ и $$A_1C_1+B_1C_1$$. Поскольку

$$\angle A=\angle A_1,\quad AB=A_1B_1,\quad AC+BC=A_1C_1+B_1C_1,$$

то оба треугольника имеют одинаковые элементы построения, а значит, они равны.

Следовательно, $$\triangle ABC\cong \triangle A_1B_1C_1$$.