Упр.420 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Докажите, что если угол, прилежащая к нему сторона и сумма двух других сторон одного треугольника соответственно равны углу, прилежащей к нему стороне и сумме двух других сторон другого треугольника, то такие треугольники равны. Докажите, что прямая, содержащая биссектрису равнобедренного треугольника, проведённую к основанию, является осью симметрии треугольника.

1) Докажем первое утверждение.

Пусть в треугольниках $$\triangle ABC$$ и $$\triangle A_1B_1C_1$$ выполнено:

$$\angle A=\angle A_1,\quad AB=A_1B_1,\quad AC+BC=A_1C_1+B_1C_1.$$

Построим треугольник $$ABC$$ по стороне $$AB$$, углу $$A$$ и сумме двух других сторон. На луче, образующем угол $$A$$, отложим отрезок $$AD=AC+BC$$. Построим серединный перпендикуляр к отрезку $$BD$$ и обозначим через $$C$$ точку его пересечения с отрезком $$AD$$.

Тогда $$AC+CD=AD$$, а так как $$AD=AC+BC$$, то

$$AC+CD=AC+BC,$$

откуда $$CD=BC$$.

Следовательно, треугольник $$ABC$$ построен единственным образом по стороне, прилежащему к ней углу и сумме двух других сторон. Значит, если у двух треугольников соответственно равны угол, прилежащая к нему сторона и сумма двух других сторон, то такие треугольники равны.

2) Докажем второе утверждение.

Пусть $$\triangle ABC$$ — равнобедренный, $$AB=BC$$, а $$BH$$ — биссектриса угла $$B$$, проведённая к основанию $$AC$$.

Рассмотрим треугольники $$\triangle ABH$$ и $$\triangle HBC$$. Имеем:

$$AB=BC,$$

$$\angle ABH=\angle HBC,$$

$$BH$$ — общая сторона.

Следовательно, $$\triangle ABH \cong \triangle HBC$$ по двум сторонам и углу между ними. Тогда

$$AH=HC,$$

а также равны углы при точках $$A$$ и $$C$$, и точки $$A$$ и $$C$$ симметричны относительно прямой $$BH$$.

Значит, прямая, содержащая биссектрису $$BH$$, является осью симметрии равнобедренного треугольника.

Ответ

Если угол, прилежащая к нему сторона и сумма двух других сторон одного треугольника соответственно равны углу, прилежащей к нему стороне и сумме двух других сторон другого треугольника, то такие треугольники равны. Прямая, содержащая биссектрису равнобедренного треугольника, проведённую к основанию, является осью симметрии треугольника.