Упр.419 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Точки $$C_1$$ и $$C_2$$ лежат по разные стороны от прямой $$AB$$ и расположены так, что $$AC_1=BC_2$$ и $$\angle BAC_1=\angle ABC_2$$. Докажите, что прямая $$C_1C_2$$ проходит через середину отрезка $$AB$$.
Докажите, что прямая, проходящая через середины противоположных сторон прямоугольника, является его осью симметрии.

Подробный ответ

Рассмотрим треугольники $$\triangle AC_1O$$ и $$\triangle BC_2O,$$ где $$O$$ — точка пересечения прямой $$C_1C_2$$ с прямой $$AB.$$

Так как $$AC_1=BC_2$$ и $$\angle BAC_1=\angle ABC_2,$$ а точки $$A,O,B$$ лежат на одной прямой, то

$$\angle C_1AO=\angle C_2BO.$$

Кроме того, углы $$\angle C_1OA$$ и $$\angle C_2OB$$ — вертикальные, значит, они равны:

$$\angle C_1OA=\angle C_2OB.$$

Следовательно, треугольники $$\triangle AC_1O$$ и $$\triangle BC_2O$$ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам:

$$AC_1=BC_2,$$ $$\angle C_1AO=\angle C_2BO,$$ $$\angle C_1OA=\angle C_2OB.$$

Из равенства треугольников получаем:

$$AO=OB.$$

Значит, точка $$O$$ — середина отрезка $$AB,$$ а прямая $$C_1C_2$$ проходит через середину отрезка $$AB.$$