Упр.417 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Задание учебника 2025 года. Даны шесть попарно пересекающихся прямых. Известно, что через точку пересечения любых двух прямых проходит по крайней мере ещё одна из данных прямых. Докажите, что все эти прямые проходят через одну точку.
- Задание учебника 2023 года. Сколько осей симметрии имеет: а) отрезок; б) прямая; в) луч?
Рассмотрим шесть попарно пересекающихся прямых. По условию через точку пересечения любых двух из них проходит ещё хотя бы одна из данных прямых.
Предположим, что все шесть прямых не проходят через одну точку. Тогда их можно разбить на три пары пересекающихся в разных точках: пусть прямые $$1$$ и $$2$$ пересекаются в точке $$O_1$$, прямые $$3$$ и $$4$$ — в точке $$O_2$$, а прямые $$5$$ и $$6$$ — в точке $$O_3$$.
Но тогда через точку $$O_1$$ проходит только две прямые, через $$O_2$$ — тоже две, и через $$O_3$$ — тоже две. Это противоречит условию: через точку пересечения любых двух прямых должна проходить ещё по крайней мере одна из данных прямых.
Значит, все шесть прямых не могут иметь три разные точки пересечения. Следовательно, они проходят через одну и ту же точку.
Ответ
Все шесть прямых проходят через одну точку.
