Упр.415 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Пусть угол hk — меньший из двух смежных углов hk и hl. Докажите, что угол hk = 90° — 1/2(угол hl — угол hk), угол hl = 90° + 1/2(угол hl — угол hk). Постройте квадрат: а) по стороне; б) по диагонали.

Так как углы $$\angle hk$$ и $$\angle hl$$ смежные, то

$$\angle hk+\angle hl=180^\circ.$$

Пусть $$\angle hk<\angle hl$$. Тогда

$$\angle hl=180^\circ-\angle hk.$$

Вычтем из этого равенства $$\angle hk$$:

$$\angle hl-\angle hk=180^\circ-2\angle hk,$$

откуда

$$2\angle hk=180^\circ-(\angle hl-\angle hk),$$

$$\angle hk=90^\circ-\frac12(\angle hl-\angle hk).$$

Аналогично,

$$\angle hk=180^\circ-\angle hl,$$

значит

$$\angle hk-\angle hl=180^\circ-2\angle hl,$$

$$2\angle hl=180^\circ+(\angle hl-\angle hk),$$

$$\angle hl=90^\circ+\frac12(\angle hl-\angle hk).$$

Итак, требуемые равенства доказаны.

Построим квадрат.

а) По стороне. Пусть дана сторона $$AB$$.

1. Проведём прямую $$a$$ и отметим на ней отрезок $$AB$$.

2. В точке $$A$$ восстановим перпендикуляр к прямой $$a$$.

3. На этом перпендикуляре отложим отрезок $$AD=AB$$.

4. Через точку $$D$$ проведём прямую, параллельную $$AB$$, а через точку $$B$$ — прямую, параллельную $$AD$$.

5. Обозначим точку их пересечения буквой $$C$$.

Тогда четырёхугольник $$ABCD$$ — квадрат.

б) По диагонали. Пусть дана диагональ $$AC$$.

1. Найдём середину отрезка $$AC$$ — точку $$O$$.

2. Через точку $$O$$ проведём перпендикуляр к $$AC$$.

3. С центром в точке $$O$$ и радиусом $$OA$$ проведём окружность.

4. Точки пересечения окружности с перпендикуляром обозначим $$B$$ и $$D$$.

5. Соединим точки $$A, B, C, D$$.

Получим квадрат $$ABCD$$, так как диагонали квадрата пересекаются и делятся пополам под прямым углом, а все его стороны равны.

Ответ

$$\angle hk=90^\circ-\frac12(\angle hl-\angle hk),\qquad \angle hl=90^\circ+\frac12(\angle hl-\angle hk).$$

Квадрат можно построить по стороне и по диагонали указанными способами.