Упр.411 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Даны прямые $$a$$, $$b$$ и окружность с центром $$O$$. а) Постройте прямую $$a_1$$, симметричную прямой $$a$$ относительно прямой $$b$$. б) Используя прямую $$a_1$$, постройте отрезок так, чтобы прямая $$b$$ была серединным перпендикуляром к этому отрезку и чтобы концы этого отрезка лежали соответственно на прямой $$a$$ и данной окружности.
- В прямоугольном треугольнике проведена биссектриса прямого угла. Через точку пересечения этой биссектрисы с гипотенузой проведены прямые, параллельные катетам. Докажите, что полученный четырёхугольник — квадрат.
а) Возьмём на прямой $$a$$ две произвольные точки $$A$$ и $$B$$. Построим точки $$A_1$$ и $$B_1$$, симметричные точкам $$A$$ и $$B$$ относительно прямой $$b$$. Тогда прямая, проходящая через точки $$A_1$$ и $$B_1$$, и будет искомой прямой $$a_1$$.
Действительно, при осевой симметрии относительно прямой $$b$$ прямая $$a$$ переходит в прямую $$a_1$$.
б) Пусть прямая $$a_1$$ уже построена. Возьмём точку $$A$$ — точку пересечения прямой $$a$$ с окружностью. Через точку $$A$$ проведём перпендикуляр к прямой $$b$$ и обозначим точку его пересечения с прямой $$a$$ через $$B$$. Тогда прямая $$b$$ проходит через середину отрезка $$AB$$ и перпендикулярна ему, то есть является серединным перпендикуляром к отрезку $$AB$$.
Так как точка $$A$$ лежит на окружности, а точка $$B$$ построена симметрично ей относительно прямой $$b$$, то конец отрезка $$B$$ лежит на прямой $$a$$, а второй конец — на данной окружности. Следовательно, искомый отрезок построен.
