Упр.409 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Пусть в треугольнике ABC есть две оси симметрии AE и BF, тогда верны равенства AB=AC и AB=BC, отсюда следует, что серединный перпендикуляр CD к стороне AB также является осью симметрии для треугольника, что и требовалось доказать. Докажите, что ромб, у которого один угол прямой, является квадратом.

Пусть в треугольнике $$ABC$$ есть две оси симметрии $$AE$$ и $$BF$$. Тогда отражение относительно оси $$AE$$ переводит точку $$B$$ в точку $$C$$, значит, $$AB=AC$$. Аналогично, отражение относительно оси $$BF$$ переводит точку $$A$$ в точку $$C$$, откуда $$AB=BC$$.

Следовательно,

$$AB=BC=CA,$$

то есть треугольник $$ABC$$ равносторонний. У равностороннего треугольника серединные перпендикуляры ко всем его сторонам являются осями симметрии. Значит, кроме осей $$AE$$ и $$BF$$, у треугольника есть и третья ось симметрии — серединный перпендикуляр к одной из его сторон, например к стороне $$AB$$.

Ответ

Если треугольник имеет две оси симметрии, то он равносторонний, а значит, имеет и третью ось симметрии.