Упр.408 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Равные хорды окружности равноудалены от центра, значит для OE перпендикулярно AB и OF перпендикулярно CD верно OE=OF,тогда по гипотенузе и катету треугольник OEK=треугольник OFK и EK=KF,по свойству хорды AE=BE=CF=DF и OA=OD=R, треугольники AOK и DOK равны по трем сторонам, а значит их высоты также равны,поэтому A>D, аналогично C>B,что и требовалось доказать.
Докажите, что параллелограмм является ромбом, если: а) его диагонали взаимно перпендикулярны; б) диагональ делит его угол пополам.
Обозначим точку пересечения хорд $$AB$$ и $$CD$$ через $$K$$, а центр окружности — через $$O$$. По условию точка $$K$$ лежит на некотором диаметре, значит прямая $$OK$$ и есть ось симметрии.
Так как хорды $$AB$$ и $$CD$$ равны, то они равноудалены от центра окружности. Следовательно, перпендикуляры, опущенные из центра на эти хорды, равны:
$$OE \perp AB,\quad OF \perp CD,\quad OE=OF.$$
Рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle OEK$$ и $$\triangle OFK$$. У них:
$$OE=OF,$$
$$OK$$ — общая гипотенуза.
Значит, $$\triangle OEK \cong \triangle OFK$$ по гипотенузе и катету. Отсюда
$$EK=KF.$$
Теперь рассмотрим треугольники $$\triangle AOK$$ и $$\triangle DOK$$. Имеем:
$$OA=OD$$ как радиусы окружности,
$$OK$$ — общая сторона,
$$EK=KF,$$ а значит точки $$A$$ и $$D$$ расположены симметрично относительно прямой $$OK$$.
Аналогично точки $$B$$ и $$C$$ также симметричны относительно этой прямой. Следовательно, хорды $$AB$$ и $$CD$$ симметричны относительно прямой, содержащей данный диаметр.
Ответ
Хорды $$AB$$ и $$CD$$ симметричны относительно прямой, содержащей данный диаметр.
Ход решения
а) Пусть диагонали параллелограмма $$ABCD$$ пересекаются в точке $$O$$ и $$AC \perp BD$$.
В параллелограмме диагонали делятся точкой пересечения пополам, значит
$$AO=OC,\quad BO=OD.$$
Рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle AOB$$ и $$\triangle COB$$. У них:
$$AO=OC,$$
$$BO$$ — общая сторона,
$$\angle AOB=\angle COB=90^\circ.$$
Следовательно, $$\triangle AOB \cong \triangle COB$$, откуда
$$AB=BC.$$
Но в параллелограмме $$AB=CD$$ и $$BC=AD$$, значит
$$AB=BC=CD=AD.$$
Следовательно, $$ABCD$$ — ромб.
б) Пусть диагональ $$AC$$ делит угол $$A$$ пополам, то есть
$$\angle DAC=\angle CAB.$$
Рассмотрим треугольники $$\triangle DAC$$ и $$\triangle CAB$$. У них:
$$AC$$ — общая сторона,
$$\angle DAC=\angle CAB,$$
$$AD=BC$$ как противоположные стороны параллелограмма.
Значит, $$\triangle DAC \cong \triangle CAB$$ по стороне и двум прилежащим углам, откуда
$$CD=AB.$$
Но в параллелограмме $$AB=CD$$ и $$BC=AD$$, следовательно
$$AB=BC.$$
Итак, все стороны параллелограмма равны, значит $$ABCD$$ — ромб.
Ответ
а) $$ABCD$$ — ромб; б) $$ABCD$$ — ромб.
