Упр.408 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Точка пересечения двух равных хорд принадлежит некоторому диаметру. Докажите, что эти хорды симметричны относительно прямой, содержащей этот диаметр.
- Докажите, что параллелограмм является ромбом, если:
а) его диагонали взаимно перпендикулярны;
б) диагональ делит его угол пополам.
Равные хорды окружности равноудалены от центра. Пусть $$K$$ — точка пересечения хорд $$AB$$ и $$CD$$, а прямая, содержащая данный диаметр, проходит через центр $$O$$ и точку $$K$$.
Опустим перпендикуляры $$OE \perp AB$$ и $$OF \perp CD$$. Тогда, так как хорды равны, имеем $$OE=OF$$.
Рассмотрим прямоугольные треугольники $$OEK$$ и $$OFK$$. У них
$$OK$$ — общая гипотенуза, $$OE=OF$$.
Следовательно, $$\triangle OEK \cong \triangle OFK$$ по гипотенузе и катету, откуда
$$EK=KF.$$
Так как перпендикуляр из центра к хорде делит её пополам, то
$$AE=BE,\qquad CF=DF.$$
Кроме того, $$OA=OD=R$$ как радиусы окружности.
Рассмотрим треугольники $$AOK$$ и $$DOK$$. Имеем
$$OA=OD,\qquad OK$$ — общая сторона, $$AE=BE,\qquad CF=DF,$$
а значит, соответствующие расстояния точек $$A$$ и $$D$$ от прямой $$OK$$ равны. Следовательно, точки $$A$$ и $$D$$ симметричны относительно прямой $$OK$$. Аналогично точки $$B$$ и $$C$$ симметричны относительно той же прямой.
Значит, хорды $$AB$$ и $$CD$$ симметричны относительно прямой, содержащей данный диаметр.
