Упр.406 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: 406. Точка А расположена во внутренней области угла CDE. Точка A_1 симметрична точке А относительно прямой DE, и точка A_2 симметрична точке А относительно прямой DC. Найдите угол CDE, если угол A_1DE=24°, угол A_2DC=48°. Найдите периметр ромба ABCD, в котором угол B = 60°, АС= 10,5 см.

1) Так как точка $$A_1$$ симметрична точке $$A$$ относительно прямой $$DE$$, то прямая $$DE$$ является серединным перпендикуляром к отрезку $$AA_1$$. Поэтому лучи $$DA$$ и $$DA_1$$ образуют с прямой $$DE$$ равные углы, то есть

$$\angle ADE=\angle A_1DE=24^\circ.$$

Аналогично, так как точка $$A_2$$ симметрична точке $$A$$ относительно прямой $$DC$$, получаем

$$\angle ADC=\angle A_2DC=48^\circ.$$

Тогда искомый угол

$$\angle CDE=\angle CDA+\angle ADE=48^\circ+24^\circ=72^\circ.$$

2) Пусть $$ABCD$$ — ромб, $$\angle B=60^\circ$$, $$AC=10{,}5\text{ см}$$. Найдём периметр ромба.

В ромбе все стороны равны, значит

$$P_{ABCD}=4AB.$$

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Так как $$AB=BC$$, он равнобедренный, следовательно, его углы при основании равны:

$$\angle BAC=\angle BCA.$$

Сумма углов треугольника:

$$\angle B+\angle BAC+\angle BCA=180^\circ,$$

откуда

$$60^\circ+2\angle BAC=180^\circ,$$

$$2\angle BAC=120^\circ,$$

$$\angle BAC=60^\circ.$$

Значит, $$\angle BCA=60^\circ$$, и треугольник $$ABC$$ равносторонний. Тогда

$$AB=BC=AC=10{,}5\text{ см}.$$

Следовательно, периметр ромба равен

$$P_{ABCD}=4\cdot 10{,}5=42\text{ см}.$$

Ответ

$$\angle CDE=72^\circ,$$ $$P_{ABCD}=42\text{ см}.$$