Упр.404 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите, что прямые, симметричные двум данным перпендикулярным прямым относительно прямой а, перпендикулярны.
Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Подробный ответ

Пусть прямые $$a$$ и $$b$$ перпендикулярны, а относительно некоторой прямой симметрии им соответствуют прямые $$a_1$$ и $$b_1$$. Возьмём точки $$A \in a$$, $$B \in b$$ и обозначим $$C = a \cap b$$. Тогда $$\angle ACB = 90^\circ$$.

При симметрии сохраняются расстояния, значит

$$A_1B_1 = AB,\quad B_1C_1 = BC,\quad A_1C_1 = AC.$$

Следовательно, треугольники $$A_1B_1C_1$$ и $$ABC$$ равны по трём сторонам. Тогда

$$\angle A_1C_1B_1 = \angle ACB = 90^\circ.$$

Значит, прямые $$a_1$$ и $$b_1$$ перпендикулярны.