Упр.403 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Пусть a>a_1 и b>b_1 относительно некоторой прямой, допустим прямые a_1 и b_1 пересекаются в точке K_1,тогда K_1>K,поэтому точка K принадлежит прямым a и b, это противоречит условию задачи, значит данные прямые a_1 и b_1 параллельны, что и требовалось доказать. В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О. Найдите периметр треугольника АОВ, если угол CAD = 30°, АС = 12 см.

Пусть прямые $$a$$ и $$b$$ симметричны относительно прямой $$l$$, а прямые $$a_1$$ и $$b_1$$ — их образы при этой симметрии. Предположим, что $$a_1$$ и $$b_1$$ пересекаются в точке $$K_1$$.

При симметрии точка пересечения прямых переходит в точку пересечения их образов. Значит, точка $$K_1$$ должна перейти в точку $$K$$ — точку пересечения прямых $$a$$ и $$b$$.

Но по условию $$a \parallel b$$, следовательно, прямые $$a$$ и $$b$$ не пересекаются. Получили противоречие. Значит, прямые $$a_1$$ и $$b_1$$ тоже не пересекаются, то есть

$$a_1 \parallel b_1.$$

Это и требовалось доказать.

Ход решения

В прямоугольнике диагонали равны и пересекаются в серединах. Поэтому

$$BD=AC=12\text{ см},$$

$$AO=OC=\frac{AC}{2}=6\text{ см}, \qquad BO=OD=\frac{BD}{2}=6\text{ см}.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ACD$$. Так как $$\angle CAD=30^\circ$$ и $$AC=12\text{ см},$$ то катет, лежащий против угла $$30^\circ$$, равен половине гипотенузы:

$$CD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\cdot 12=6\text{ см}.$$

В прямоугольнике противоположные стороны равны, значит

$$AB=CD=6\text{ см}.$$

Тогда периметр треугольника $$AOB$$ равен

$$P_{AOB}=AO+OB+AB=6+6+6=18\text{ см}.$$

Ответ

$$18\text{ см}$$