Упр.402 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

1) Пусть прямые a и b параллельны и дана точка A;
2) Построим перпендикуляр BC к заданным прямым;
3) Построим серединный перпендикуляр к отрезку BC;
4) Отметим точку D на пересечении перпендикуляров;
5) Из точки A проведем окружность радиуса BD или CD;
6) Отметим точку O на пересечении с перпендикуляром;
7) Из точки O проведем окружность с радиусом R=OA. Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что треугольники AOD и АОВ равнобедренные.

Подробный ответ

Пусть $$ABCD$$ — прямоугольник, а $$O$$ — точка пересечения его диагоналей.

В прямоугольнике диагонали равны, значит

$$AC=BD.$$

Кроме того, диагонали прямоугольника делятся точкой пересечения пополам, поэтому

$$AO=\frac{AC}{2}, \qquad BO=\frac{BD}{2}.$$

Из равенства диагоналей получаем

$$AO=\frac{AC}{2}=\frac{BD}{2}=BO.$$

Следовательно, в треугольнике $$AOB$$ две стороны равны, значит $$\triangle AOB$$ равнобедренный.

Аналогично:

$$AO=\frac{AC}{2}, \qquad OD=\frac{BD}{2},$$

поэтому