Упр.402 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Даны две параллельные прямые и точка, не лежащая ни на одной из них. Постройте окружность, проходящую через данную точку и касающуюся данных прямых.
2. Диагонали прямоугольника $$ABCD$$ пересекаются в точке $$O$$. Докажите, что треугольники $$AOD$$ и $$AOB$$ равнобедренные.

Пусть прямые $$a$$ и $$b$$ параллельны, а точка $$A$$ не лежит ни на одной из них.

Проведём через точку $$A$$ прямую, перпендикулярную прямым $$a$$ и $$b$$. Она пересечёт прямые $$a$$ и $$b$$ в точках $$B$$ и $$C$$.

Построим серединный перпендикуляр к отрезку $$BC$$. Обозначим через $$O$$ точку его пересечения с прямой $$AC$$.

Так как $$O$$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $$BC$$, то

$$OB=OC.$$

Кроме того, точка $$A$$ лежит на прямой $$BC$$, а точка $$O$$ выбрана на прямой $$AC$$, поэтому можно провести окружность с центром в точке $$O$$ и радиусом $$OA$$. Эта окружность проходит через точку $$A$$.

Осталось показать, что она касается прямых $$a$$ и $$b$$. Поскольку $$BC \perp a$$ и $$BC \perp b$$, а точка $$O$$ равноудалена от точек $$B$$ и $$C$$, то расстояния от $$O$$ до прямых $$a$$ и $$b$$ равны. Значит, окружность с центром $$O$$ и радиусом $$OA$$ касается обеих параллельных прямых.

Следовательно, искомая окружность построена.