Упр.400 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис треугольника, а центр описанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров треугольника, у равнобедренного треугольника медиана, проведенная к основанию, является также его высотой и биссектрисой, значит центры данных окружностей лежат на серединном перпендикуляре к основанию этого треугольника, что и требовалось доказать. Докажите, что если в четырёхугольнике все углы прямые, то четырёхугольник — прямоугольник.

Пусть в равнобедренном треугольнике основание — $$BC$$, а боковые стороны равны: $$AB=AC$$. Обозначим через $$O_1$$ центр вписанной окружности, а через $$O_2$$ — центр описанной окружности.

Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис треугольника. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая из вершины $$A$$ к основанию $$BC$$, одновременно является медианой и высотой. Значит, она проходит через середину основания $$BC$$ и перпендикулярна ему, то есть является серединным перпендикуляром к $$BC$$.

Следовательно, точка $$O_1$$ лежит на серединном перпендикуляре к основанию $$BC$$.

Центр описанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. В равнобедренном треугольнике серединный перпендикуляр к основанию $$BC$$ совпадает с осью симметрии треугольника, а значит, проходит и через центр описанной окружности.

Следовательно, точка $$O_2$$ тоже лежит на серединном перпендикуляре к основанию $$BC$$.

Итак, обе точки $$O_1$$ и $$O_2$$ лежат на серединном перпендикуляре к основанию треугольника.

Ответ: точки $$O_1$$ и $$O_2$$ лежат на серединном перпендикуляре к основанию равнобедренного треугольника.