Упр.400 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- В равнобедренный треугольник вписана окружность с центром $$O_1$$, и около него описана окружность с центром $$O_2$$. Докажите, что точки $$O_1$$ и $$O_2$$ лежат на серединном перпендикуляре к основанию треугольника.
- Докажите, что если в четырёхугольнике все углы прямые, то четырёхугольник — прямоугольник.
Пусть в равнобедренном треугольнике $$ABC$$ основание — $$BC$$, а боковые стороны равны $$AB=AC$$.
Центр вписанной окружности $$O_1$$ лежит в точке пересечения биссектрис треугольника, а центр описанной окружности $$O_2$$ — в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.
В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая из вершины $$A$$ к основанию $$BC$$, является одновременно высотой и биссектрисой. Значит, эта прямая является серединным перпендикуляром к основанию $$BC$$.
Так как $$O_1$$ лежит на биссектрисе угла $$A$$, а в равнобедренном треугольнике эта биссектриса совпадает с серединным перпендикуляром к основанию, то $$O_1$$ лежит на серединном перпендикуляре к $$BC$$.
Кроме того, центр описанной окружности $$O_2$$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $$BC$$ по определению центра описанной окружности.
Следовательно, точки $$O_1$$ и $$O_2$$ лежат на серединном перпендикуляре к основанию треугольника $$BC$$, что и требовалось доказать.
