Упр.397 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Отрезок $$AB$$ является диаметром окружности, а хорды $$BC$$ и $$AD$$ параллельны. Докажите, что хорда $$CD$$ является диаметром.
- Постройте равнобедренную трапецию $$ABCD$$:
а) по основанию $$AD$$, углу $$A$$ и боковой стороне $$AB$$;
б) по основанию $$BC$$, боковой стороне $$AB$$ и диагонали $$BD$$.
Так как $$AD \parallel BC,$$ то при секущей $$CD$$ получаем равенство накрест лежащих углов:
$$\angle ADC=\angle BCD.$$
При секущей $$AB$$ имеем:
$$\angle DAB=\angle ABC.$$
Поскольку $$AB$$ — диаметр окружности, то вписанные углы, опирающиеся на него, прямые:
$$\angle ADB=90^\circ,\qquad \angle ACB=90^\circ.$$
Тогда точки $$D$$ и $$C$$ лежат на окружности с диаметром $$AB$$, а из равенства углов при параллельных прямых следует, что треугольники $$AOD$$ и $$BOC$$ подобны по двум углам:
$$\angle DAO=\angle CBO,\qquad \angle ADO=\angle BCO.$$
Кроме того,
$$\angle AOD=\angle BOC,$$
значит, лучи $$OD$$ и $$OC$$ совпадают, то есть точки $$D, O, C$$ лежат на одной прямой.
Так как $$O$$ — центр окружности, а прямая $$CD$$ проходит через центр, то $$CD$$ — диаметр.
