Упр.396 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Две окружности имеют общую точку $$M$$ и общую касательную в этой точке. Прямая $$AB$$ касается одной окружности в точке $$A$$, а другой — в точке $$B$$. Докажите, что точка $$M$$ лежит на окружности с диаметром $$AB$$.
2. Разделите данный отрезок $$AB$$ на $$n$$ равных частей.

Пусть прямая $$AB$$ касается первой окружности в точке $$A$$, а второй — в точке $$B$$, а общая касательная в точке $$M$$ пересекает прямую $$AB$$ в точке $$K$$.

Тогда из одной точки $$K$$ к первой окружности проведены касательные $$KA$$ и $$KM$$, а ко второй — касательные $$KB$$ и $$KM$$. Поэтому

$$KA=KM,\qquad KB=KM.$$

Следовательно,

$$KA=KB.$$

Значит, точка $$K$$ равноудалена от точек $$A$$ и $$B$$, то есть лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $$AB$$. Но при этом $$K\in AB$$, значит, $$K$$ — середина отрезка $$AB$$.

Кроме того, из равенств $$KA=KM$$ и $$KB=KM$$ получаем

$$KA=KB=KM.$$

Так как $$K$$ — середина $$AB$$, то окружность с центром в $$K$$ и радиусом $$KA$$ проходит через точки $$A$$, $$B$$ и $$M$$. Отрезок $$AB$$ является диаметром этой окружности.

Следовательно, точка $$M$$ лежит на окружности с диаметром $$AB$$.