Упр.396 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Дано:
MK-касатель;
AB-касатель;
K=ABnKM;
Доказать:
M-лежит на
окр.с диам.AB;
Решение:
1) Касательные из одной точки:
KA=KM, KB=KM, AK=KB;
2) Точки лежат на окружности:
AK=KB=KM=R, K принадлежит AB;
K-центр и AB-диаметр;
Что и требовалось доказать. Разделите данный отрезок АВ на п равных частей. Решение Проведём луч АХ, не лежащий на прямой АВ, и на нём от точки А отложим последовательно п равных отрезков АА1, А1А2, …, Аn-1Аn (рис. 167), т. е. столько равных отрезков, на сколько равных частей нужно разделить данный отрезок АВ (на рисунке 167 n = 5). Проведём прямую АnВ (точка Аn — конец последнего отрезка) и построим прямые, проходящие через точки А1, А2, …, Аn-1 и параллельные прямой АnВ. Эти прямые пересекают отрезок АВ в точках В1, В2, …, Вn-1, которые по теореме Фалеса (задача 385) делят отрезок АВ на n равных частей.

Обозначим через $$K$$ точку пересечения общей касательной с прямой $$AB$$, то есть $$K=AB\cap KM$$.

Так как из одной точки $$K$$ к первой окружности проведены касательные $$KA$$ и $$KM$$, то $$KA=KM$$. Аналогично, для второй окружности имеем $$KB=KM$$.

Следовательно,

$$KA=KB=KM.$$

Из равенства $$KA=KB$$ заключаем, что точка $$K$$ равноудалена от точек $$A$$ и $$B$$, значит, $$K$$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $$AB$$. Но при этом $$K\in AB$$, следовательно, $$K$$ — середина отрезка $$AB$$.

Кроме того, из $$KA=KB=KM$$ получаем, что $$KA=KB$$ и $$K$$ — середина $$AB$$, а значит, точка $$K$$ является центром окружности, проходящей через точки $$A$$, $$M$$ и $$B$$. Тогда отрезок $$AB$$ — диаметр этой окружности.

Поскольку $$M$$ лежит на окружности с диаметром $$AB$$, что и требовалось доказать.

Ответ

Точка $$M$$ лежит на окружности с диаметром $$AB$$.

Ход решения

Проведём луч $$AX$$, не лежащий на прямой $$AB$$. На нём от точки $$A$$ отложим последовательно $$n$$ равных отрезков $$AA_1, A_1A_2, \ldots, A_{n-1}A_n$$.

Соединим точки $$A_n$$ и $$B$$ и проведём через точки $$A_1, A_2, \ldots, A_{n-1}$$ прямые, параллельные прямой $$A_nB$$. Эти прямые пересекут отрезок $$AB$$ в точках $$B_1, B_2, \ldots, B_{n-1}$$.

По теореме Фалеса точки $$B_1, B_2, \ldots, B_{n-1}$$ делят отрезок $$AB$$ на $$n$$ равных частей.