Упр.395 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Дано:
O-ц.окр;
AB-касат;
AC-касат;
MN-касат;
M=MNnAB;
N=MNnAC;
Доказать:
P_AMN-const;
угол MON-const;
Решение:
1) Касательные из одной точки:
BM=MX, CN=NX, AB=AC;
AB=AM+BM, AC=AN+NC;
MN=MX+XN=BM+NC;
2) В треугольнике треугольник AMN:
P_AMN=AM+MN+AN;
P_AMN=AB+AC=2AB;
3) По катету и гипотенузе:
треугольник BOM=треугольник XOM, угол BOM=угол XOM;
треугольник XON=треугольник CON, угол XON=угол CON;
угол BOC=2•угол MOX+2•угол NOX;
угол O=2угол MON, угол MON=1/2угол O;
Что и требовалось доказать.
Даны острый угол hk и два отрезка P1Q1 и P2Q2. Постройте параллелограмм ABCD так, чтобы расстояние между параллельными прямыми АВ и DC равнялось P1Q1, AB = P2Q2 и угол A = угол hk.
Обозначим точки касания прямой $$MN$$ с окружностью через $$X$$, а точки пересечения этой касательной с прямыми $$AB$$ и $$AC$$ — через $$M$$ и $$N$$.
1) Из свойства касательных, проведённых из одной точки, получаем:
$$BM=MX,\qquad CN=NX.$$
Так как точки $$A,M,B$$ лежат на одной прямой, а точки $$A,N,C$$ — на одной прямой, то
$$AB=AM+BM,\qquad AC=AN+NC.$$
Кроме того,
$$MN=MX+XN=BM+NC.$$
Тогда периметр треугольника $$AMN$$ равен
$$ P_{AMN}=AM+MN+AN $$
$$ P_{AMN}=(AB-BM)+(BM+NC)+(AC-NC)=AB+AC. $$
Но из одной внешней точки к окружности касательные равны, значит $$AB=AC$$. Следовательно,
$$P_{AMN}=AB+AC=2AB,$$
то есть периметр $$P_{AMN}$$ не зависит от выбора точки $$X$$.
2) Докажем, что угол $$MON$$ постоянен.
Рассмотрим треугольники $$BOM$$ и $$XOM$$. У них:
$$OB=OX$$ — радиусы одной окружности,
$$BM=MX$$ — касательные из точки $$M$$.
Значит, $$\triangle BOM \cong \triangle XOM$$ по катету и гипотенузе, откуда
$$\angle BOM=\angle XOM.$$
Аналогично, из равенства треугольников $$XON$$ и $$CON$$ получаем
$$\angle XON=\angle CON.$$
Тогда
$$\angle BOC=\angle BOM+\angle MOX+\angle XON+\angle CON=2\angle MOX+2\angle NOX.$$
Но лучи $$OM$$ и $$ON$$ делят угол $$BOC$$ пополам относительно угла между касательными, поэтому
$$\angle BOC=2\angle MON.$$
Следовательно,
$$\angle MON=\frac12\angle BOC,$$
то есть угол $$MON$$ также не зависит от выбора точки $$X$$.
Ответ
$$P_{AMN}=2AB=\text{const},\qquad \angle MON=\frac12\angle BOC=\text{const}.$$
