Упр.395 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Прямые $$AB$$ и $$AC$$ — касательные к окружности с центром $$O$$, $$B$$ и $$C$$ — точки касания. Через произвольную точку $$X$$, взятую на дуге $$BC$$, проведена касательная к этой окружности, пересекающая отрезки $$AB$$ и $$AC$$ в точках $$M$$ и $$N$$. Докажите, что периметр треугольника $$AMN$$ и величина угла $$MON$$ не зависят от выбора точки $$X$$ на дуге $$BC$$.
- Даны острый угол $$hk$$ и два отрезка $$P_1Q_1$$ и $$P_2Q_2$$. Постройте параллелограмм $$ABCD$$ так, чтобы расстояние между параллельными прямыми $$AB$$ и $$DC$$ равнялось $$P_1Q_1$$, $$AB=P_2Q_2$$ и $$\angle A=\angle hk$$.
Так как из одной точки к окружности проведены касательные, то
$$BM=BX,\qquad CN=CX.$$
Кроме того, отрезки касательных, проведённых из точки $$A$$, равны, а из точки $$A$$ и точки $$M$$ получаем
$$AB=AC,\qquad AB=AM+BM,\qquad AC=AN+NC.$$
Тогда
$$MN=MX+XN=BM+CN.$$
Следовательно, периметр треугольника $$AMN$$ равен
$$P_{AMN}=AM+MN+AN =(AB-BM)+(BM+CN)+(AC-CN)=AB+AC.$$
Так как $$AB=AC,$$ то
$$P_{AMN}=2AB,$$
то есть периметр треугольника $$AMN$$ не зависит от выбора точки $$X$$.
Докажем, что угол $$MON$$ тоже постоянен. Рассмотрим треугольники $$BOM$$ и $$XOM$$: у них
$$OB=OX,\qquad OM=OM,$$
а также $$BM=BX,$$
значит, $$\triangle BOM \cong \triangle XOM$$ по трём сторонам. Поэтому
$$\angle BOM=\angle XOM.$$
Аналогично, из равенства $$OC=OX,\quad ON=ON,\quad CN=CX$$ получаем
$$\triangle XON \cong \triangle CON,$$
откуда
$$\angle XON=\angle CON.$$
Тогда
$$\angle BOC=\angle BOM+\angle MOX+\angle XON+\angle NOC =2\angle MOX+2\angle NOX+2\angle MON,$$
то есть
$$\angle BOC=2\angle MON.$$
Следовательно,
$$\angle MON=\frac12\angle BOC,$$
а значит, угол $$MON$$ не зависит от выбора точки $$X$$.
Ответ: $$P_{AMN}=2AB=\text{const},\qquad \angle MON=\frac12\angle BOC=\text{const}.$$
