Упр.394 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что касательные, проведённые через концы хорды, не являющейся диаметром окружности, пересекаются.
- Даны три точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$, не лежащие на одной прямой. Постройте параллелограмм так, чтобы три его вершины совпадали с данными точками. Сколько таких параллелограммов можно построить?
Предположим, что касательные $$a$$ и $$b$$, проведённые через концы хорды $$AB$$, не пересекаются. Тогда, по свойству касательной, радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательным:
$$OA \perp a,\qquad OB \perp b.$$
Если прямые $$a$$ и $$b$$ не пересекаются, то они параллельны: $$a \parallel b$$. Но тогда прямые, перпендикулярные параллельным прямым, тоже параллельны, значит $$OA \parallel OB$$. Поскольку обе эти прямые проходят через точку $$O$$, они совпадают, то есть точки $$O, A, B$$ лежат на одной прямой.
Это означает, что хорда $$AB$$ проходит через центр окружности, то есть является диаметром. Но по условию хорда $$AB$$ не является диаметром. Получили противоречие.
Следовательно, касательные, проведённые через концы хорды, не являющейся диаметром окружности, пересекаются.
