Упр.389 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Задание учебника 2025 года. Лежат ли точки $$A_1$$, $$B_1$$, $$C_1$$ на одной прямой, если они симметричны точкам $$A$$, $$B$$, $$C$$ относительно некоторой прямой и известно, что: а) $$AB=2\ дм$$, $$AC=10\ дм$$, $$BC=80\ см$$; б) $$AB=1{,}1\ см$$, $$B_1C_1=5\ см$$, $$CA=6\ см$$?
2. Задание учебника 2023 года. Докажите, что трапеция равнобедренная, если: а) углы при основании равны; б) диагонали трапеции равны.

Пусть точки $$A_1,\ B_1,\ C_1$$ симметричны точкам $$A,\ B,\ C$$ относительно некоторой прямой. Тогда эта прямая является серединным перпендикуляром к отрезкам $$AA_1,\ BB_1,\ CC_1$$, а расстояния между симметричными точками сохраняются.

а)

Дано: $$AB=2\text{ дм},\ AC=10\text{ дм},\ BC=80\text{ см}=8\text{ дм}.$$

Проверим, лежат ли точки $$A,\ B,\ C$$ на одной прямой:

$$AB+BC=2+8=10\text{ дм}=AC.$$

Значит, точки $$A,\ B,\ C$$ лежат на одной прямой, причём $$B$$ находится между $$A$$ и $$C$$.

При симметрии относительно одной прямой точки $$A_1,\ B_1,\ C_1$$ также лежат на одной прямой, так как образ прямой при осевой симметрии — прямая.

Следовательно, точки $$A_1,\ B_1,\ C_1$$ лежат на одной прямой.

б)

Дано: $$AB=1{,}1\text{ см},\ B_1C_1=5\text{ см},\ CA=6\text{ см}.$$

Так как симметрия сохраняет расстояния, то

$$A_1B_1=AB=1{,}1\text{ см}, \qquad A_1C_1=AC=6\text{ см}.$$

Если бы точки $$A_1,\ B_1,\ C_1$$ лежали на одной прямой, то для одной из них выполнялось бы равенство суммы двух отрезков третьему. Но

$$A_1B_1+B_1C_1=1{,}1+5=6{,}1\text{ см}\ne 6\text{ см}=A_1C_1.$$

Значит, точки $$A_1,\ B_1,\ C_1$$ не лежат на одной прямой.

Ответ: а) да; б) нет.