Упр.388 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- На рисунке 180, б точки $$A$$ и $$A_1$$, $$B$$ и $$B_1$$ симметричны относительно прямой $$p$$. Найдите длины отрезков $$AB$$ и $$A_1B_1$$, если $$AA_1=5\ \text{см}$$, $$BB_1=15\ \text{см}$$.
- Докажите, что в равнобедренной трапеции:
а) углы при каждом основании равны;
б) диагонали равны.
Так как точки $$A$$ и $$A_1$$ симметричны относительно прямой $$p$$, то прямая $$p$$ является серединным перпендикуляром к отрезку $$AA_1$$. Аналогично прямая $$p$$ является серединным перпендикуляром к отрезку $$BB_1$$.
Пусть $$O$$ — точка пересечения отрезка $$AA_1$$ с прямой $$p$$. Тогда $$AO=OA_1$$, а значит
$$AA_1=2AO=5\text{ см}, \quad AO=OA_1=2{,}5\text{ см}.$$
Пусть также $$P$$ — точка пересечения отрезка $$BB_1$$ с прямой $$p$$. Тогда $$BP=PB_1$$, и
$$BB_1=2BP=15\text{ см}, \quad BP=PB_1=7{,}5\text{ см}.$$
На рисунке точки $$A$$ и $$B$$ лежат по одну сторону от прямой $$p$$, а точки $$A_1$$ и $$B_1$$ — по другую. Поэтому
$$AB=AO+OP+PB.$$
Но отрезки $$AO$$ и $$OP$$ равны соответствующим половинам расстояний до прямой симметрии, а значит разность координат точек по перпендикуляру к $$p$$ даёт
$$AB=AA_1+BB_1 \text{?}$$
Используем свойство симметрии: расстояния от симметричных точек до прямой $$p$$ равны, поэтому отрезки $$AB$$ и $$A_1B_1$$ равны и каждый из них равен сумме половин данных отрезков:
$$AB=AO+OP+PB=2{,}5+5+2{,}5=10\text{ см}.$$
Аналогично
$$A_1B_1=10\text{ см}.$$
Ответ: $$10\text{ см};\ 10\text{ см}.$$
