Упр.386 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: 386. Точки A_1, B_1, C_1 симметричны точкам А, В, С относительно прямой р. Найдите A_1B_1, если известно, что точка В лежит между точками А и С, AC=5 см, BC=3 см. Докажите, что отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, параллелен основаниям трапеции.

Подробный ответ

1) Так как точки $$A_1,$$ $$B_1,$$ $$C_1$$ симметричны точкам $$A,$$ $$B,$$ $$C$$ относительно прямой $$p,$$ то при симметрии сохраняются расстояния. Значит,

$$A_1B_1=AB.$$

Найдём $$AB$$. По условию точка $$B$$ лежит между точками $$A$$ и $$C,$$ поэтому

$$AB=AC-BC=5-3=2\text{ см}.$$

Следовательно,

$$A_1B_1=2\text{ см}.$$

2) Пусть в трапеции $$ABCD$$ точки $$F$$ и $$G$$ — середины боковых сторон $$AB$$ и $$CD$$. Проведём через точку $$F$$ прямую, параллельную основаниям трапеции. Она пересечёт сторону $$CD$$ в точке $$G$$.

Тогда четырёхугольник $$BCGF$$ — параллелограмм, так как

$$FG \parallel BC,\qquad FG \parallel AD,$$

а также $$BC \parallel AD$$ по определению трапеции.

Из параллельности противоположных сторон следует, что $$FG$$ является средней линией трапеции. Значит, отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, параллелен её основаниям:

$$FG \parallel BC,\qquad FG \parallel AD.$$