Упр.383 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Ответ: А; Е; О. На диагонали BD параллелограмма ABCD отмечены две точки Р и Q так, что РВ = QD. Докажите, что четырёхугольник APCQ — параллелограмм.

Подробный ответ

Рассмотрим параллелограмм $$ABCD$$. Тогда $$AB=CD$$, $$AB \parallel CD$$ и $$BC \parallel AD$$.

Точки $$P$$ и $$Q$$ лежат на диагонали $$BD$$, причём $$PB=QD$$. Рассмотрим треугольники $$ABP$$ и $$CDQ$$.

Так как $$AB=CD$$, $$PB=QD$$, а $$\angle ABP=\angle CDQ$$ как накрест лежащие при $$AB \parallel CD$$ и секущей $$BD$$, то

$$\triangle ABP \cong \triangle CDQ$$ по двум сторонам и углу между ними.

Из равенства треугольников получаем:

$$\angle APB=\angle CQD,$$

а также $$AP=CQ$$.

Но точки $$P, B, D, Q$$ лежат на одной прямой, значит углы $$\angle APB$$ и $$\angle CPQ$$, а также $$\angle CQD$$ и $$\angle CQP$$ связаны с одной и той же прямой $$BD$$. Поэтому

$$AP \parallel CQ.$$

Аналогично, из равенства треугольников $$BCP$$ и $$ADQ$$ следует, что

$$CP \parallel AQ.$$

Итак, в четырёхугольнике $$APCQ$$ обе пары противоположных сторон параллельны:

$$AP \parallel CQ,\qquad CP \parallel AQ.$$

Следовательно, $$APCQ$$ — параллелограмм.