Упр.383 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Какие из следующих букв имеют ось симметрии: А, Б, Г, Е, О, F?
2. На диагонали $$BD$$ параллелограмма $$ABCD$$ отмечены две точки $$P$$ и $$Q$$ так, что $$PB=QD$$. Докажите, что четырёхугольник $$APCQ$$ — параллелограмм.

Рассмотрим треугольники $$\triangle ABP$$ и $$\triangle CDQ$$.

Так как $$ABCD$$ — параллелограмм, то $$AB=CD$$ и $$AB \parallel CD$$, $$BC \parallel AD$$. По условию $$P,Q \in BD$$ и $$PB=QD$$.

Углы $$\angle ABP$$ и $$\angle CDQ$$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых $$AB \parallel CD$$ и секущей $$BD$$. Значит,

$$\triangle ABP \cong \triangle CDQ$$

по двум сторонам и углу между ними. Тогда соответствующие стороны равны:

$$AP=CQ.$$

Аналогично рассмотрим треугольники $$\triangle BCP$$ и $$\triangle ADQ$$. Имеем $$BC=AD$$, $$PB=QD$$, а углы $$\angle CBP$$ и $$\angle ADQ$$ равны как накрест лежащие при $$BC \parallel AD$$ и секущей $$BD$$. Следовательно,

$$\triangle BCP \cong \triangle ADQ,$$

откуда

$$CP=AQ.$$

В четырёхугольнике $$APCQ$$ обе пары противоположных сторон равны:

$$AP=CQ,\qquad CP=AQ.$$

Следовательно, $$APCQ$$ — параллелограмм.