Упр.382 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: 382. Перенесите в тетрадь таблицу. Нарисуйте примеры фигур с данным числом осей. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что четырёхугольник A1B1C1D1, вершинами которого являются середины отрезков ОА, ОВ, OС и OD, — параллелограмм.

1) Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся точкой пересечения пополам, значит

$$BO=OD,\qquad AO=OC.$$

2) По условию точки $$A_1,\ B_1,\ C_1,\ D_1$$ — середины отрезков $$OA,\ OB,\ OC,\ OD$$ соответственно. Тогда

$$A_1O=\frac12 AO,\qquad C_1O=\frac12 OC,$$

следовательно, из $$AO=OC$$ получаем

$$A_1O=C_1O.$$

Аналогично

$$B_1O=\frac12 BO,\qquad D_1O=\frac12 DO,$$

и из $$BO=DO$$ следует

$$B_1O=D_1O.$$

3) Рассмотрим треугольники $$A_1OB_1$$ и $$C_1OD_1$$. У них

$$A_1O=C_1O,\qquad B_1O=D_1O,$$

а углы $$\angle A_1OB_1$$ и $$\angle C_1OD_1$$ — вертикальные, значит равны. Следовательно, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними.

Отсюда получаем равенство соответствующих сторон:

$$A_1B_1=C_1D_1.$$

Аналогично, из равенства треугольников $$B_1OC_1$$ и $$D_1OA_1$$ следует

$$B_1C_1=A_1D_1.$$

4) В четырёхугольнике $$A_1B_1C_1D_1$$ обе пары противоположных сторон равны, значит это параллелограмм.

Ответ: $$A_1B_1C_1D_1$$ — параллелограмм.