Упр.382 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Перенесите в тетрадь таблицу. Нарисуйте примеры фигур с данным числом осей.
2. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что четырёхугольник A₁B₁C₁D₁, вершинами которого являются середины отрезков ОА, ОВ, ОС и ОD, — параллелограмм.

Так как диагонали параллелограмма пересекаются и делятся точкой пересечения пополам, то

$$AO=OC,\qquad BO=OD.$$

По условию точки $$A_1$$, $$B_1$$, $$C_1$$, $$D_1$$ — середины отрезков $$OA$$, $$OB$$, $$OC$$, $$OD$$ соответственно. Тогда

$$A_1O=\frac12 AO,\qquad C_1O=\frac12 OC,$$

откуда с учётом $$AO=OC$$ получаем

$$A_1O=C_1O.$$

Аналогично

$$B_1O=\frac12 BO,\qquad D_1O=\frac12 DO,$$

и так как $$BO=OD,$$ то

$$B_1O=D_1O.$$

Следовательно, точка $$O$$ является серединой диагоналей $$A_1C_1$$ и $$B_1D_1$$ четырёхугольника $$A_1B_1C_1D_1$$. Диагонали четырёхугольника взаимно делятся пополам, значит, $$A_1B_1C_1D_1$$ — параллелограмм.

Ответ

$$A_1B_1C_1D_1$$ — параллелограмм.