Упр.378 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: 378. Начертите треугольник АВС и прямую р, не пересекающую его стороны. Постройте треугольник A_1B_1C_1, симметричный треугольнику АВС относительно прямой р. Пользуясь масштабной линейкой и транспортиром, убедитесь в том, что стороны и углы треугольника A_1B_1C_1 соответственно равны сторонам и углам треугольника АВС. Выполните ещё раз построение для случая, когда прямая р пересекает две стороны треугольника. Докажите, что параллелограмм является выпуклым четырёхугольником. Решение Рассмотрим параллелограмм ABCD (см. рис. 157) и докажем, что он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины. Возьмём, например, прямую АВ. Отрезок CD не имеет общих точек с прямой АВ, так как АВ || CD. Значит, этот отрезок лежит по одну сторону от прямой АВ. Но тогда и отрезки ВС и AD лежат по ту же сторону от прямой АВ. Таким образом, параллелограмм ABCD лежит по одну сторону от прямой АВ.

При симметрии относительно прямой каждая точка фигуры переходит в точку, лежащую на перпендикуляре к этой прямой и на таком же расстоянии от неё. Поэтому при построении треугольника, симметричного треугольнику $$ABC$$ относительно прямой $$r$$, получаем точки $$A_1, B_1, C_1$$ так, что

$$AA_1 \perp r,\quad BB_1 \perp r,\quad CC_1 \perp r,$$

и

$$d(A,r)=d(A_1,r),\quad d(B,r)=d(B_1,r),\quad d(C,r)=d(C_1,r).$$

Отражение относительно прямой сохраняет расстояния между точками и величины углов. Значит, соответствующие стороны и углы треугольников равны:

$$A_1B_1=AB,\quad B_1C_1=BC,\quad A_1C_1=AC,$$

$$\angle A_1=\angle A,\quad \angle B_1=\angle B,\quad \angle C_1=\angle C.$$

Это можно проверить измерением масштабной линейкой и транспортиром.

Если прямая $$r$$ пересекает две стороны треугольника, построение выполняется так же: каждую вершину отражают относительно прямой $$r$$, после чего соединяют полученные точки. В этом случае также сохраняются равенство соответствующих сторон и углов, так как симметрия относительно прямой является движением.

Докажем, что параллелограмм является выпуклым четырёхугольником. Рассмотрим параллелограмм $$ABCD$$. Нужно показать, что он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

Возьмём прямую $$AB$$. Так как $$AB \parallel CD$$, то прямая $$AB$$ не пересекает сторону $$CD$$. Следовательно, точки $$C$$ и $$D$$ лежат по одну сторону от прямой $$AB$$. Кроме того, отрезки $$BC$$ и $$AD$$ соединяют точки, лежащие по одну сторону от $$AB$$, с точками $$B$$ и $$A$$, лежащими на самой прямой $$AB$$, поэтому весь параллелограмм расположен по одну сторону от прямой $$AB$$.

Аналогично параллелограмм лежит по одну сторону от прямых $$BC$$, $$CD$$ и $$DA$$. Значит, $$ABCD$$ — выпуклый четырёхугольник.

Ответ

При симметрии относительно прямой соответствующие стороны и углы треугольников равны: $$A_1B_1=AB$$, $$B_1C_1=BC$$, $$A_1C_1=AC$$, $$\angle A_1=\angle A$$, $$\angle B_1=\angle B$$, $$\angle C_1=\angle C$$. Параллелограмм является выпуклым четырёхугольником.