Упр.376 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Отметьте две точки и постройте их ось симметрии.
2. Найдите углы параллелограмма $$ABCD$$, если:
   
   а) угол $$A = 84^\circ$$;
   
   б) угол $$A —$$угол $$B = 55’$$;
   
   в) угол $$A +$$угол $$C = 142^\circ$$;
   
   д) угол $$CAD = 16^\circ$$, угол $$ACD = 37^\circ$$.

Пусть $$ABCD$$ — параллелограмм. Тогда его противоположные углы равны, а соседние в сумме дают $$180^\circ$$:

$$\angle A=\angle C,\qquad \angle B=\angle D,\qquad \angle A+\angle B=180^\circ.$$

а)

$$\angle A=84^\circ.$$

Тогда

$$\angle C=84^\circ,$$

$$\angle B=180^\circ-84^\circ=96^\circ,$$

$$\angle D=96^\circ.$$

б)

$$\angle A-\angle B=55^\circ.$$

Так как $$\angle A+\angle B=180^\circ,$$ получаем систему:

$$\begin{cases} \angle A-\angle B=55^\circ,\\ \angle A+\angle B=180^\circ. \end{cases}$$

Складываем уравнения:

$$2\angle A=235^\circ,\qquad \angle A=117^\circ30′.$$

Тогда

$$\angle C=117^\circ30′,$$

$$\angle B=180^\circ-117^\circ30’=62^\circ30′,$$

$$\angle D=62^\circ30′.$$

в)

$$\angle A+\angle C=142^\circ.$$

Но $$\angle A=\angle C,$$ значит

$$2\angle A=142^\circ,\qquad \angle A=71^\circ.$$

Следовательно,

$$\angle C=71^\circ,$$

$$\angle B=180^\circ-71^\circ=109^\circ,$$

$$\angle D=109^\circ.$$

г)

$$\angle A=2\angle B.$$

Так как $$\angle A+\angle B=180^\circ,$$ то

$$2\angle B+\angle B=180^\circ,$$

$$3\angle B=180^\circ,\qquad \angle B=60^\circ.$$

Тогда

$$\angle D=60^\circ,$$

$$\angle A=2\cdot 60^\circ=120^\circ,$$

$$\angle C=120^\circ.$$

д)

Проведена диагональ $$AC$$. В треугольнике $$ACD$$ известны углы:

$$\angle CAD=16^\circ,\qquad \angle ACD=37^\circ.$$

Тогда

$$\angle CDA=180^\circ-(16^\circ+37^\circ)=127^\circ.$$

В параллелограмме $$\angle D=\angle B,$$ значит

$$\angle B=127^\circ,\qquad \angle D=127^\circ.$$

Кроме того,

$$\angle A=180^\circ-127^\circ=53^\circ,$$

а значит

$$\angle C=53^\circ.$$

Ответ

а) $$\angle A=\angle C=84^\circ,\ \angle B=\angle D=96^\circ.$$

б) $$\angle A=\angle C=117^\circ30′,\ \angle B=\angle D=62^\circ30′.$$

в) $$\angle A=\angle C=71^\circ,\ \angle B=\angle D=109^\circ.$$

г) $$\angle A=\angle C=120^\circ,\ \angle B=\angle D=60^\circ.$$

д) $$\angle A=\angle C=53^\circ,\ \angle B=\angle D=127^\circ.$$