Упр.373 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
В равнобедренном треугольнике высота, медиана и биссектриса, проведенные к основанию совпадают, значит центры вписанной и описанной окружностей O и E лежат на одном серединном перпендикуляре BH треугольника, что и требовалось доказать.
Периметр параллелограмма ABCD равен 50 см, угол C = 30°, а перпендикуляр ВН к прямой CD равен 6,5 см. Найдите стороны параллелограмма.
В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, одновременно является медианой и биссектрисой. Значит, прямая, проходящая через вершину и середину основания, является серединным перпендикуляром к основанию.
Центр вписанной окружности $$O$$ лежит на биссектрисе угла при вершине, а центр описанной окружности $$E$$ — на серединных перпендикулярах к сторонам треугольника. В равнобедренном треугольнике и $$O$$, и $$E$$ принадлежат оси симметрии треугольника, то есть серединному перпендикуляру к основанию.
Следовательно, точки $$O$$ и $$E$$ лежат на одном и том же серединном перпендикуляре к основанию треугольника.
Ход решения
Пусть $$ABCD$$ — параллелограмм, $$P_{ABCD}=50$$ см, $$\angle C=30^\circ$$, $$BH\perp CD$$, $$BH=6{,}5$$ см. Найдём стороны параллелограмма.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $$BCH$$. Так как $$\angle C=30^\circ$$, то катет, лежащий против угла $$30^\circ$$, равен половине гипотенузы:
$$BH=\frac{1}{2}BC.$$
Тогда
$$BC=2BH=2\cdot 6{,}5=13\text{ см}.$$
В параллелограмме противоположные стороны равны, значит
$$AD=BC=13\text{ см}, \qquad AB=CD.$$
По формуле периметра параллелограмма:
$$P_{ABCD}=2(AB+BC).$$
Подставим известные значения:
$$50=2(AB+13),$$
$$AB+13=25,$$
$$AB=12\text{ см}.$$
Следовательно,
$$CD=AB=12\text{ см}.$$
Ответ
$$O$$ и $$E$$ лежат на серединном перпендикуляре к основанию треугольника; $$AB=CD=12\text{ см},\; BC=AD=13\text{ см}.$$
