Упр.373 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Задание учебника 2025 года. В равнобедренный треугольник вписана окружность с центром $$O$$, и около него описана окружность с центром $$E$$. Докажите, что точки $$O$$ и $$E$$ лежат на серединном перпендикуляре к основанию треугольника.
Задание учебника 2023 года. Периметр параллелограмма $$ABCD$$ равен $$50\ \text{см}$$, угол $$C=30^\circ$$, а перпендикуляр $$BH$$ к прямой $$CD$$ равен $$6{,}5\ \text{см}$$. Найдите стороны параллелограмма.

Подробный ответ

Обозначим стороны параллелограмма: $$AB=CD$$ и $$BC=AD$$.

Так как $$BH \perp CD$$, то треугольник $$BCH$$ прямоугольный, а угол при $$C$$ равен $$30^\circ$$. Значит, в прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла $$30^\circ$$, равен половине гипотенузы:

$$BC=2BH=2\cdot 6{,}5=13\text{ см}.$$

По свойству параллелограмма противоположные стороны равны, поэтому

$$AD=BC=13\text{ см}, \qquad AB=CD.$$

Периметр параллелограмма равен

$$P=2(AB+BC)=50.$$

Подставим найденное значение $$BC=13$$:

$$2(AB+13)=50,$$
$$AB+13=25,$$
$$AB=12\text{ см}.$$

Следовательно,

$$CD=AB=12\text{ см}, \qquad AD=BC=13\text{ см}.$$

Ответ: $$AB=CD=12\text{ см},\; BC=AD=13\text{ см}.$$