Упр.372 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Дано:
угол ABC=90°;
O-ц.вп.окр;
AB+BC=m;
AC=c;
Найти:
r;
Решение:
1) Для данной окружности:
OG перпендикулярно AC; OE перпендикулярно BC; OF перпендикулярно AB;
OG=r, OF=r, OE=r;
2) В прямоугольном треугольник ABC:
OC,OA,OB-биссектрисы;
3) По гипотенузе и углу:
треугольник OEB=треугольник OFB, BF=OE;
треугольник OGA=треугольник OFA, AF=AG;
треугольник OGC=треугольник OEC, CE=CG;
4) В прямоугольном треугольник ABC:
BF=r, AC=(CE+AF)=c;
(AB+BC)=CE+r+AF+r;
m=c+2r, d=2r=m-c;
Ответ: m-c. Периметр параллелограмма равен 48 см. Найдите стороны параллелограмма, если: а) одна сторона на 3 см больше другой; б) разность двух сторон равна 7 см; в) одна из сторон в два раза больше другой.

Подробный ответ

Пусть $$r$$ — радиус вписанной окружности. Тогда диаметр равен $$d=2r$$.

Обозначим точки касания окружности со сторонами треугольника через $$E\in BC$$, $$F\in AB$$, $$G\in AC$$. Тогда радиусы, проведённые к точкам касания, перпендикулярны соответствующим сторонам:

$$OE\perp BC,\quad OF\perp AB,\quad OG\perp AC,$$

и потому

$$OE=OF=OG=r.$$

Так как из одной точки к окружности можно провести равные касательные, то

$$BF=BE,\quad AF=AG,\quad CE=CG.$$

В прямоугольном треугольнике $$ABC$$ имеем:

$$AB=AF+FB,\quad BC=BE+CE,\quad AC=AG+GC.$$

Складывая первые два равенства, получаем

$$AB+BC=(AF+FB)+(BE+CE).$$

Но $$FB=BE=r$$, а $$AF+CE=AG+CG=AC=c$$, значит

$$AB+BC=c+2r.$$

По условию $$AB+BC=m$$, следовательно