Упр.371 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите периметр прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна $$26\ \text{см}$$, а радиус вписанной окружности — $$4\ \text{см}$$.
2. Докажите, что выпуклый четырёхугольник $$ABCD$$ является параллелограммом, если:
   а) $$\angle BAC = \angle ACD$$ и $$\angle BCA = \angle DAC$$;
   б) $$AB \parallel CD$$, $$\angle A = \angle C$$.

Пусть $$\triangle ABC$$ — прямоугольный, $$\angle B=90^\circ$$, $$AC=26\text{ см}$$, $$r=4\text{ см}$$.

Для прямоугольного треугольника радиус вписанной окружности выражается формулой

$$r=\frac{a+b-c}{2},$$

где $$a$$ и $$b$$ — катеты, $$c$$ — гипотенуза.

Тогда

$$4=\frac{a+b-26}{2}.$$

Отсюда

$$a+b-26=8,$$

$$a+b=34.$$

Периметр треугольника равен

$$P=a+b+c=34+26=60\text{ см}.$$

Ответ: $$60\text{ см}$$.