Упр.371 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Дано:
угол ABC=90°;
O-ц.вп.окр;
AC=26 см;
r=4 см;
Найти:
P_ABC;
Решение:
1) Для данной окружности:
OG перпендикулярно AC; OE перпендикулярно BC; OF перпендикулярно AB;
OG=r, OF=r, OE=r;
2) В прямоугольном треугольнике ABC:
OC,OA,OB-биссектрисы;
3) По гипотенузе и углу:
треугольник OEB=треугольник OFB, BF=OE;
треугольник OGA=треугольник OFA, AF=AG;
треугольник OGC=треугольник OEC, CE=CG;
4) В прямоугольном треугольник ABC:
BF=4, CE+AF=AC=26;
P_ABC=2•BF+2•(CE+AF);
P_ABC=2•4+2•26=60;
Ответ: 60 см. Докажите, что выпуклый четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если: a) угол BAC = угол ACD и угол BCA = угол DАС; б) АВ || CD, угол A = угол C.

Подробный ответ

Решение

а) Рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$ACD$$.

По условию $$\angle BAC=\angle ACD$$ и $$\angle BCA=\angle DAC$$, а сторона $$AC$$ — общая.

Следовательно, $$\triangle ABC \cong \triangle ACD$$ по стороне и двум прилежащим к ней углам. Тогда

$$BC=AD.$$

Кроме того, из равенства треугольников получаем

$$\angle BCA=\angle CAD.$$

Это накрест лежащие углы при секущей $$AC$$ и прямых $$BC$$ и $$AD$$, значит,

$$BC \parallel AD.$$

Итак, в четырёхугольнике $$ABCD$$ одна пара противоположных сторон равна и параллельна, следовательно, $$ABCD$$ — параллелограмм.

б) Так как $$AB \parallel CD$$, то при секущей $$AD$$ внутренние односторонние углы дополняют друг друга до $$180^\circ$$:

$$\angle A+\angle D=180^\circ.$$

Аналогично, при секущей $$BC$$:

$$\angle B+\angle C=180^\circ.$$

По условию $$\angle A=\angle C$$. Тогда из равенств выше получаем

$$\angle B=180^\circ-\angle C=180^\circ-\angle A,$$

и значит

$$\angle B+\angle A=180^\circ.$$

Следовательно, прямые $$AB$$ и $$CD$$ параллельны. Но по условию уже дано $$AB \parallel CD$$, а также $$BC \parallel AD$$, значит, обе пары противоположных сторон параллельны.

Итак, $$ABCD$$ — параллелограмм.