Упр.370 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Стороны угла $$\mathrm{ВАС}$$, равного $$60^\circ$$, касаются окружности с центром $$\mathrm{О}$$. Найдите длину отрезка $$\mathrm{ОА}$$, если радиус окружности равен $$5\ \text{см}$$.
2. Найдите углы выпуклого четырёхугольника, если они пропорциональны числам $$1, 2, 4, 5$$.

Пусть $$E$$ — точка касания окружности со стороной $$AC$$. Тогда радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, значит

$$OE \perp AC,\qquad OE=R=5\text{ см}.$$

Так как стороны угла $$\angle BAC=60^\circ$$ касаются окружности, то центр окружности лежит на биссектрисе этого угла. Следовательно, прямая $$AO$$ — биссектриса угла $$BAC$$, и

$$\angle CAO=\frac{1}{2}\angle BAC=\frac{1}{2}\cdot 60^\circ=30^\circ.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AOE$$. В нём $$\angle A=30^\circ$$, а сторона $$OE$$ лежит против угла $$30^\circ$$. В треугольнике $$30^\circ-60^\circ-90^\circ$$ гипотенуза в 2 раза больше катета, лежащего против угла $$30^\circ$$. Поэтому

$$OA=2\cdot OE=2\cdot 5=10\text{ см}.$$

Ответ: $$10\text{ см}$$.