Упр.369 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите, что центром окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является середина гипотенузы.
Найдите углы $$A$$, $$B$$ и $$C$$ выпуклого четырёхугольника $$ABCD$$, если $$\angle A=\angle B=\angle C$$, а $$\angle D=135^\circ$$.

Подробный ответ

Решение

Пусть $$O$$ — середина гипотенузы $$AC$$ прямоугольного треугольника $$ABC$$, где $$\angle B=90^\circ$$. Проведём медиану $$BO$$.

По свойству медианы прямоугольного треугольника, проведённой к гипотенузе, имеем:

$$OA=OB=OC.$$

Значит, точка $$O$$ равноудалена от всех вершин треугольника $$ABC$$. Следовательно, она является центром окружности, описанной около треугольника $$ABC$$.

Итак, центром описанной окружности прямоугольного треугольника является середина его гипотенузы.