Упр.365 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Начертите три треугольника: тупоугольный, прямоугольный и остроугольный. В каждый из них впишите окружность. Как расположен центр окружности относительно треугольника в каждом случае?
2. Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, каждый угол которого равен: а) $$90^\circ$$; б) $$60^\circ$$; в) $$120^\circ$$; г) $$108^\circ$$?

Центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис треугольника. Биссектрисы любого треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка всегда лежит внутри треугольника.

Значит, в каждом из трёх случаев центр вписанной окружности расположен внутри треугольника.

Ответ

1) Внутри треугольника.
2) Внутри треугольника.
3) Внутри треугольника.

Для выпуклого многоугольника сумма внутренних углов равна $$\left(n-2\right)\cdot 180^\circ,$$ где $$n$$ — число сторон.

Если каждый угол равен $$d^\circ,$$ то

$$n\cdot d=\left(n-2\right)\cdot 180^\circ$$
$$nd=180^\circ n-360^\circ$$
$$n\left(180^\circ-d\right)=360^\circ$$
$$n=\frac{360^\circ}{180^\circ-d}$$

Теперь найдём число сторон:

1. а) $$n=\frac{360^\circ}{180^\circ-90^\circ}=\frac{360^\circ}{90^\circ}=4$$
2. б) $$n=\frac{360^\circ}{180^\circ-60^\circ}=\frac{360^\circ}{120^\circ}=3$$
3. в) $$n=\frac{360^\circ}{180^\circ-120^\circ}=\frac{360^\circ}{60^\circ}=6$$
4. г) $$n=\frac{360^\circ}{180^\circ-108^\circ}=\frac{360^\circ}{72^\circ}=5$$

Ответ

а) 4; б) 3; в) 6; г) 5.