Упр.357 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Дана окружность с центром в точке $$O$$. Прямая пересекает окружность в точках $$A$$ и $$H$$. Найдите расстояние от точки $$O$$ до прямой, если $$AH=8\text{ см}$$, $$\angle AOH=90^\circ$$.
2. На данной окружности постройте точку, равноудалённую от двух данных пересекающихся прямых. Сколько решений может иметь задача?

Пусть прямая пересекает окружность в точках $$A$$ и $$H$$, а $$K$$ — основание перпендикуляра из центра $$O$$ на эту прямую. Тогда $$OK \perp AH$$.

В окружности перпендикуляр, проведённый из центра к хорде, делит хорду пополам, значит

$$AK=KH=\frac{AH}{2}=\frac{8}{2}=4.$$

Так как $$\angle AOH=90^\circ$$, то в равнобедренном треугольнике $$AOH$$ (ведь $$OA=OH$$) высота $$OK$$ к основанию $$AH$$ является также биссектрисой, поэтому

$$\angle AOK=\angle KOH=45^\circ.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AOK$$. В нём $$\angle AKO=90^\circ$$ и $$\angle AOK=45^\circ$$, значит треугольник равнобедренный, откуда

$$OK=AK=4.$$

Ответ: $$4$$ см.