Упр.356 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. В треугольнике $$ABC$$ угол $$B$$ прямой. Докажите, что: а) прямая $$BC$$ является касательной к окружности с центром $$A$$ радиуса $$AB$$; б) прямая $$AB$$ является касательной к окружности с центром $$C$$ радиуса $$CB$$; в) прямая $$AC$$ не является касательной к окружностям с центром $$B$$ и радиусами $$BA$$ и $$BC$$.
2. Постройте прямоугольный треугольник $$ABC$$, если даны острый угол $$B$$ и биссектриса $$BD$$.

Так как $$\angle B=90^\circ,$$ то $$AB\perp BC.$$

По признаку касательной к окружности прямая, перпендикулярная радиусу в точке его конца, является касательной.

Следовательно, прямая $$BC$$ перпендикулярна радиусу $$AB$$ окружности с центром $$A$$ и радиуса $$AB$$, значит, $$BC$$ — касательная к этой окружности.

Аналогично, $$AB\perp BC,$$ значит, прямая $$AB$$ перпендикулярна радиусу $$CB$$ окружности с центром $$C$$ и радиуса $$CB$$. Следовательно, $$AB$$ — касательная к этой окружности.

Теперь рассмотрим прямую $$AC.$$ Она проходит через точки $$A$$ и $$C$$, а значит, пересекает окружность с центром $$B$$ и радиусом $$BA$$ в точке $$A$$, а окружность с центром $$B$$ и радиусом $$BC$$ — в точке $$C$$. Поэтому прямая $$AC$$ не может быть касательной ни к одной из этих окружностей, так как касательная имеет с окружностью только одну общую точку.

Ответ: $$BC$$ и $$AB$$ — касательные; $$AC$$ не является касательной к указанным окружностям.