Упр.354 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Дано:
O-ц.окр;
AB-касат;
AC-касат;
OB=3 см;
OA=6 см;
Найти:
угол BAO; угол CAO;
Решение:
1) В данной окружности:
угол OBA=90°; угол OCA=90°;
OB=OC=R=3;
2) В прямоугольном треугольнике OBA:
OB=1/2 OA,отсюда угол A=30°;
3) По гипотенузе и катету:
OB=OC, треугольник OBA=треугольник OCA;
угол OAB=угол OAC=30°;
Ответ: 30°; 30°. Через три данные точки проведите окружность. Всегда ли задача имеет решение?

Так как $$AB$$ и $$AC$$ — касательные к окружности с центром $$O$$, то радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательным:

$$\angle OBA=90^\circ,\qquad \angle OCA=90^\circ.$$

Из условия $$OB=3\text{ см}$$, а значит радиус окружности равен $$3\text{ см}$$. Тогда

$$OC=OB=3\text{ см}.$$

В треугольнике $$OBA$$ гипотенуза $$OA=6\text{ см}$$, катет $$OB=3\text{ см}$$, то есть

$$OB=\frac12\,OA.$$

Следовательно, прямоугольный треугольник $$OBA$$ — равнобедренный с углами $$30^\circ$$, $$60^\circ$$, $$90^\circ$$, поэтому

$$\angle BAO=30^\circ.$$

Аналогично, в прямоугольных треугольниках $$OBA$$ и $$OCA$$:

$$OB=OC,\qquad OA\text{ — общая сторона},\qquad \angle OBA=\angle OCA=90^\circ,$$

значит, эти треугольники равны по гипотенузе и катету. Тогда

$$\angle CAO=\angle BAO=30^\circ.$$

Если через три точки провести окружность, то она существует и единственна тогда и только тогда, когда точки не лежат на одной прямой. Построение выполняют так: проводят серединные перпендикуляры к двум отрезкам, соединяющим пары точек; их пересечение — центр искомой окружности. Затем проводят окружность через одну из точек.

Если же три точки лежат на одной прямой, то окружность через них провести нельзя.

Ответ

$$\angle BAO=30^\circ,\qquad \angle CAO=30^\circ.$$
Окружность через три точки можно провести не всегда: это возможно только для трёх неколлинеарных точек.