Упр.353 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Отрезки $$AB$$ и $$AC$$ являются отрезками касательных к окружности с центром $$O$$, проведёнными из точки $$A$$. Найдите угол $$BAC$$, если середина отрезка $$AO$$ лежит на окружности.
2. Постройте точку, лежащую на данной окружности и равноудалённую от концов данного отрезка. Сколько решений может иметь задача?

Пусть $$E$$ — середина отрезка $$AO$$. Тогда $$OE=AE.$$

Так как $$AB$$ и $$AC$$ — касательные к окружности, проведённые из точки $$A$$, то радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательным:

$$OB\perp AB,\qquad OC\perp AC.$$

Следовательно, треугольники $$OBA$$ и $$OCA$$ прямоугольные. Кроме того,

$$OB=OC$$

как радиусы одной окружности, а также

$$OA$$

— общая гипотенуза. Значит,

$$\triangle OBA \cong \triangle OCA$$

по гипотенузе и катету, откуда

$$\angle OAB=\angle OAC.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$OBA$$. Так как $$E$$ — середина $$OA$$ и при этом $$OE$$ равно радиусу окружности, то

$$OE=\frac12\,OA=OB.$$

В прямоугольном треугольнике катет, равный половине гипотенузы, лежит против угла $$30^\circ$$, значит

$$\angle OAB=30^\circ.$$

Тогда

$$\angle BAC=\angle OAB+\angle OAC=30^\circ+30^\circ=60^\circ.$$

Ответ: $$60^\circ$$.