Упр.351 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Угол между диаметром $$AB$$ и хордой $$AC$$ равен $$30^\circ$$. Через точку $$C$$ проведена касательная, пересекающая прямую $$AB$$ в точке $$D$$. Докажите, что треугольник $$ACD$$ равнобедренный.
- Постройте треугольник по двум сторонам и высоте к третьей стороне.
Так как $$AB$$ — диаметр окружности, то радиус $$OA$$ лежит на прямой $$AB$$. Касательная $$CD$$ проведена в точке $$C$$, значит
$$OC \perp CD,$$
то есть $$\angle OCD=90^\circ$$.
Рассмотрим треугольник $$AOC$$. Так как $$OA=OC$$, он равнобедренный, поэтому
$$\angle OAC=\angle ACO=30^\circ.$$
Тогда
$$\angle AOC=180^\circ-30^\circ-30^\circ=120^\circ.$$
Поскольку точки $$A, O, B$$ лежат на одной прямой, то
$$\angle COB=180^\circ-\angle AOC=60^\circ.$$
В прямоугольном треугольнике $$OCD$$ имеем
$$\angle COD=\angle COB=60^\circ,$$
следовательно,
$$\angle ODC=180^\circ-90^\circ-60^\circ=30^\circ.$$
Теперь в треугольнике $$ACD$$:
$$\angle CAD=\angle OAC=30^\circ,$$
так как точки $$A, O, D$$ лежат на одной прямой, и
$$\angle CDA=\angle ODC=30^\circ.$$
Значит, $$\angle CAD=\angle CDA$$, поэтому треугольник $$ACD$$ равнобедренный, и
$$AC=CD.$$
Ответ: $$AC=CD$$, треугольник $$ACD$$ равнобедренный.
