Упр.350 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Дано:
O-ц.окр;
AC-касат;
BC-касат;
AB=R;
Найти:
угол ACB;
Решение:
1) В данной окружности:
угол OAC=90°; угол OBC=90°;
OB=OA=AB=R;
2) В треугольнике AOB:
OA=OB=AB, угол O=60°;
3) Четырехугольник ACBO:
угол C=360°-(угол A+угол B+угол O);
угол C=360°-90°-90°-60°;
угол C=360°-240°=120°;
Ответ: 120°. В треугольнике ABC высота АА1 не меньше стороны ВС, а высота ВВ1 не меньше стороны АС. Докажите, что треугольник ABC — равнобедренный и прямоугольный.

Подробный ответ

Обозначим основания высот: $$AA_1 \perp BC$$, $$BB_1 \perp AC$$.

Докажем сначала, что $$\angle C=90^\circ$$.

Предположим противное: точки $$A_1$$ и $$B_1$$ не совпадают с точкой $$C$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AA_1C$$. В нём $$AC$$ — гипотенуза, значит, $$AA_1<AC$$. По условию $$AA_1\ge BC$$, следовательно, $$BC<AC$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$BB_1C$$. В нём $$BC$$ — гипотенуза, значит, $$BB_1<BC$$. По условию $$BB_1\ge AC$$, следовательно, $$AC<BC$$.

Получаем одновременно $$BC<AC$$ и $$AC<BC$$ — противоречие. Значит, наше предположение неверно, и точки $$A_1$$, $$B_1$$ и $$C$$ совпадают. Тогда $$AA_1$$ и $$BB_1$$ — это высоты, опущенные из вершин $$A$$ и $$B$$ в точку $$C$$, поэтому $$\angle C=90^\circ$$.

Теперь из условий $$AA_1\ge BC$$ и $$BB_1\ge AC$$, а также из того, что $$A_1=B_1=C$$, получаем:

$$AA_1=BC,\qquad BB_1=AC.$$

Но $$AA_1=AC$$ и $$BB_1=BC$$, так как высоты совпали со сторонами треугольника. Следовательно,

$$AC=BC.$$

Итак, $$\triangle ABC$$ равнобедренный, а так как $$\angle C=90^\circ$$, то он прямоугольный.