Упр.349 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Через точку А окружности проведены касательная и хорда, равная радиусу окружности. Найдите угол между ними.
2. Медиана и высота треугольника, проведённые из одной вершины угла треугольника, делят этот угол на три равные части. Докажите, что треугольник прямоугольный.

Пусть $$\angle BAD=x.$$ Так как $$AD$$ — касательная к окружности в точке $$A$$, то радиус $$OA$$ перпендикулярен касательной:

$$\angle OAD=90^\circ.$$

По условию $$AB=R$$, а также $$OA=R$$ и $$OB=R$$ как радиусы окружности. Значит,

$$OA=OB=AB,$$

то есть треугольник $$AOB$$ равносторонний. Следовательно,

$$\angle BAO=60^\circ.$$

Тогда угол между хордой $$AB$$ и касательной $$AD$$ равен

$$\angle BAD=90^\circ-\angle BAO=90^\circ-60^\circ=30^\circ.$$

Ответ: $$30^\circ$$.