Упр.348 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Две окружности с центрами $$O_1$$ и $$O_2$$ вписаны в угол. Одна из них касается его сторон в точках $$A$$ и $$D$$, а вторая — в точках $$B$$ и $$C$$. Докажите, что $$AB=CD$$.
2. Докажите, что в прямоугольном треугольнике с неравными катетами биссектриса прямого угла делит угол между высотой и медианой, проведёнными из той же вершины, пополам.

Пусть $$\angle B=\alpha.$$ Тогда в прямоугольном треугольнике $$\angle A=90^\circ-\alpha.$$

Так как $$CD$$ — биссектриса угла $$C$$, а $$\angle C=90^\circ,$$ то

$$\angle ACD=\angle BCD=\frac{90^\circ}{2}=45^\circ.$$

Поскольку $$CH$$ — высота, то $$\angle AHC=90^\circ.$$ Следовательно,

$$\angle ACH=90^\circ-\angle A=90^\circ-(90^\circ-\alpha)=\alpha.$$

В прямоугольном треугольнике $$ABC$$ медиана $$CM$$, проведённая к гипотенузе, равна её половине, значит

$$CM=MB=MC.$$

Тогда треугольник $$CMB$$ равнобедренный, и потому

$$\angle BCM=\angle CMB=\alpha.$$

Теперь найдём угол $$\angle MCD$$:

$$\angle MCD=\angle BCD-\angle BCM=45^\circ-\alpha.$$

Аналогично в треугольнике $$CHD$$:

$$\angle HCD=\angle ACD-\angle ACH=45^\circ-\alpha.$$

Значит,

$$\angle MCD=\angle HCD,$$

то есть биссектриса прямого угла делит угол между высотой и медианой пополам.