Упр.345 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что касательные, проведённые через концы диаметра окружности, параллельны.
- Через вершину $$A$$ треугольника $$ABC$$ проведена прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла $$A$$, а из вершины $$B$$ проведён перпендикуляр $$BH$$ к этой прямой. Докажите, что периметр треугольника $$BCH$$ больше периметра треугольника $$ABC$$.
Пусть прямая, проведённая через вершину $$A$$ перпендикулярно биссектрисе угла $$A$$, пересекает продолжение стороны $$BC$$ в точке $$H$$, а из точки $$B$$ опущен перпендикуляр $$BH$$ к этой прямой.
Продолжим отрезок $$BA$$ за точку $$A$$ до точки $$D$$ так, чтобы $$AD=AC$$.
Так как $$AE$$ — биссектриса угла $$A$$, то $$\angle 1=\angle 2$$. Кроме того, $$MH\perp AE$$, значит $$\angle 3=90^\circ-\angle 2$$ и $$\angle 4=90^\circ-\angle 1$$. Следовательно, $$\angle 3=\angle 4$$.
Углы $$\angle 3$$ и $$\angle 5$$ — вертикальные, поэтому $$\angle 3=\angle 5$$, а значит $$\angle 4=\angle 5$$.
Тогда
$$\angle DAH=180^\circ-\angle 5,\qquad \angle CAH=180^\circ-\angle 4,$$
откуда $$\angle DAH=\angle CAH$$.
Рассмотрим треугольники $$\triangle CAH$$ и $$\triangle DAH$$. У них
$$AC=AD,$$
$$AH$$ — общая сторона,
$$\angle CAH=\angle DAH.$$
Значит, $$\triangle CAH\cong \triangle DAH$$ по двум сторонам и углу между ними. Поэтому $$CH=DH$$.
Теперь в треугольнике $$DBH$$ имеем
$$DH+BH>DB$$
по неравенству треугольника. Но
$$DB=DA+AB=CA+AB,$$
так как $$AD=AC$$, и $$DH=CH$$. Следовательно,
$$CH+BH>AC+AB.$$
Тогда
$$P_{BCH}=BC+CH+BH>BC+AC+AB=P_{ABC}.$$
Значит, периметр треугольника $$BCH$$ больше периметра треугольника $$ABC$$, что и требовалось доказать.
