Упр.345 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Касательные к окружности перпендикулярны радиусу, проведенному к точке касания, так как отрезки OA и OB лежат на одной прямой AB, то a перпендикулярно AB и b перпендикулярно AB, значит эти прямые являются параллельными, что и требовалось доказать.
Через вершину А треугольника ABC проведена прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла А, а из вершины В проведён перпендикуляр ВН к этой прямой. Докажите, что периметр треугольника ВСН больше периметра треугольника ABC.

Подробный ответ

Обозначим точку пересечения прямой, проведённой через вершину $$A$$ перпендикулярно биссектрисе угла $$A$$, с прямой $$BC$$ через $$E$$. Тогда $$AE$$ — биссектриса угла $$A$$, а $$MH \perp AE$$ и $$BH \perp MH$$.

Продолжим отрезок $$BA$$ до точки $$D$$ так, чтобы $$AD=AC$$.

1) Так как $$AE$$ — биссектриса, то $$\angle 1=\angle 2$$.

2) Поскольку $$MH \perp AE$$, имеем $$\angle 3=90^\circ-\angle 2$$ и $$\angle 4=90^\circ-\angle 1$$. Следовательно, $$\angle 3=\angle 4$$.

3) Углы $$\angle 3$$ и $$\angle 5$$ — вертикальные, значит $$\angle 3=\angle 5$$, а потому $$\angle 4=\angle 5$$.

4) Тогда
$$\angle DAH=180^\circ-\angle 5,\qquad \angle CAH=180^\circ-\angle 4,$$
откуда $$\angle DAH=\angle CAH$$.

5) Рассмотрим треугольники $$\triangle CAH$$ и $$\triangle DAH$$. У них
$$AC=AD,$$
$$AH$$ — общая сторона,
$$\angle CAH=\angle DAH.$$
Следовательно, $$\triangle CAH \cong \triangle DAH$$ по двум сторонам и углу между ними. Значит,
$$CH=DH.$$

6) В треугольнике $$DBH$$ по неравенству треугольника
$$DH+BH>DB.$$
Но
$$DB=DA+AB=CA+AB,$$
а также $$DH=CH$$. Тогда
$$CH+BH>CA+AB.$$

7) Периметры треугольников равны:
$$P_{BCH}=BC+CH+BH,$$
$$P_{ABC}=AB+BC+AC.$$
Из неравенства $$CH+BH>CA+AB$$ получаем
$$P_{BCH}>P_{ABC}.$$