Упр.343 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Из центра O окружности опустим перпендикуляр OA на прямую a, так как OA=R, то точка A будет принадлежить этой окружности и OA перпендикулярно a, тогда эта прямая является касательной к заданной окружности, что и требовалось доказать.
Две стороны треугольника не равны друг другу. Докажите, что медиана, проведённая из их общей вершины, составляет с меньшей из сторон больший угол.

Подробный ответ

Пусть в треугольнике $$ABC$$ дано $$BC>AB$$, а $$BM$$ — медиана. Докажем, что $$\angle ABM>\angle MBC$$.

Построим на продолжении отрезка $$BM$$ точку $$E$$ так, чтобы $$ME=BM$$.

Рассмотрим треугольники $$ABM$$ и $$CEM$$. Имеем:

$$BM=ME$$ по построению;
$$AM=MC$$, так как $$BM$$ — медиана;
$$\angle AMB=\angle CME$$ как вертикальные углы.

Следовательно, $$\triangle ABM \cong \triangle CEM$$ по двум сторонам и углу между ними. Значит,

$$AB=CE,$$

а из условия $$BC>AB$$ получаем

$$BC>CE.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$BCE$$. В нём сторона $$BC$$ лежит против угла $$\angle BEC$$, а сторона $$CE$$ — против угла $$\angle MBC$$, так как точки $$B, M, E$$ лежат на одной прямой. Поскольку $$BC>CE$$, то большему боку противолежит больший угол:

$$\angle BEC>\angle MBC.$$

Но $$\angle BEC=\angle ABM$$, так как лучи $$EB$$ и $$BM$$ совпадают, а лучи $$EC$$ и $$BA$$ соответствуют равным треугольникам. Следовательно,

$$\angle ABM>\angle MBC.$$