Упр.343 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу, то прямая является касательной к окружности.
- Две стороны треугольника не равны друг другу. Докажите, что медиана, проведённая из их общей вершины, составляет с меньшей из сторон больший угол.
Пусть в треугольнике $$ABC$$ сторона $$BC$$ больше стороны $$AB$$, а $$BM$$ — медиана, проведённая из вершины $$B$$ к стороне $$AC$$. Докажем, что $$\angle ABM > \angle MBC$$.
Продолжим медиану $$BM$$ за точку $$M$$ и отложим на продолжении отрезок $$ME$$, равный $$BM$$. Тогда точки $$B, M, E$$ лежат на одной прямой, а $$M$$ — середина отрезка $$BE$$.
Рассмотрим треугольники $$ABM$$ и $$CEM$$.
Имеем:
- $$BM = ME$$ — по построению;
- $$AM = MC$$ — так как $$BM$$ является медианой;
- $$\angle AMB = \angle CME$$ — вертикальные углы.
Следовательно, $$\triangle ABM \cong \triangle CEM$$ по двум сторонам и углу между ними. Отсюда
$$AB = CE$$ и $$\angle ABM = \angle CEM.$$
Так как по условию $$BC > AB$$, а $$AB = CE$$, то получаем
$$BC > CE.$$
Теперь рассмотрим треугольник $$BCE$$. В нём сторона $$BC$$ лежит против угла $$\angle BEC$$, а сторона $$CE$$ — против угла $$\angle MBC$$, потому что точки $$B, M, E$$ коллинеарны. Из неравенства сторон следует, что против большей стороны лежит больший угол, значит
$$\angle BEC > \angle MBC.$$
Но $$\angle BEC = \angle ABM$$, так как $$\angle ABM = \angle CEM$$ и лучи $$EM$$ и $$EB$$ совпадают. Поэтому
$$\angle ABM > \angle MBC.$$
Что и требовалось доказать.
