Упр.342 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что если хорды окружности равноудалены от её центра, то они равны.
2. Докажите теорему: если в треугольнике биссектриса является медианой, то треугольник равнобедренный.

Рассмотрим хорды $$AC$$ и $$DE$$. Пусть $$OF \perp AC$$, $$OH \perp DE$$ и $$OF=OH$$.

Из свойства хорды окружности следует, что перпендикуляр, проведённый из центра к хорде, делит её пополам. Значит, $$AF=FC$$ и $$EH=HD$$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$AFO$$ и $$EHO$$. У них:

• $$OA=OE$$ как радиусы одной окружности;
• $$OF=OH$$ по условию;
• $$\angle AFO=\angle EHO=90^\circ$$.

Следовательно, $$\triangle AFO \cong \triangle EHO$$ по гипотенузе и катету. Тогда $$AF=EH$$.

Теперь найдём длины хорд:

$$AC=2AF,\qquad DE=2EH.$$

Так как $$AF=EH$$, то

$$AC=2AF=2EH=DE.$$

Итак, если хорды окружности равноудалены от её центра, то они равны.