Упр.339 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что если $$AB$$ — диаметр окружности и $$C$$ — внешняя точка относительно этой окружности, не лежащая на прямой $$AB$$, то угол $$ACB$$ острый.
2. Отрезок $$BB_1$$ — биссектриса треугольника $$ABC$$. Докажите, что $$BA > B_1A$$ и $$BC > B_1C$$.

Пусть прямая $$BC$$ пересекает окружность второй раз в точке $$E$$. Тогда по теореме Фалеса, так как $$AB$$ — диаметр, имеем

$$\angle AEB=90^\circ.$$

Точка $$E$$ лежит на прямой $$BC$$, значит лучи $$BE$$ и $$BC$$ совпадают, поэтому

$$\angle AEC=\angle AEB=90^\circ.$$

Рассмотрим треугольник $$AEC$$. В нём

$$\angle ACE=180^\circ-\angle AEC-\angle CAE=90^\circ-\angle CAE.$$

Так как $$\angle CAE>0^\circ$$, то

$$\angle ACE<90^\circ.$$

Но точки $$B, E, C$$ лежат на одной прямой, значит

$$\angle ACB=\angle ACE.$$

Следовательно,

$$\angle ACB<90^\circ.$$

Что и требовалось доказать.