Упр.338 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что если точка $$C$$ — внутренняя точка относительно окружности, не лежащая на её диаметре $$AB$$, то угол $$ACB$$ тупой.
2. Докажите, что любой отрезок с концами на разных сторонах треугольника не больше наибольшей из сторон треугольника.

Пусть прямая $$AC$$ пересекает окружность в точке $$E$$, отличной от $$A$$. Тогда $$E$$ лежит на окружности, а $$AB$$ — диаметр, значит вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой:

$$\angle AEB=90^\circ.$$

Точка $$C$$ лежит внутри окружности, поэтому луч $$CE$$ проходит внутри угла $$ACB$$. Следовательно,

$$\angle ACB=\angle ACE+\angle ECB.$$

Но в треугольнике $$CEB$$ угол при вершине $$E$$ прямой, значит

$$\angle ECB=90^\circ-\angle CBE.$$

Тогда

$$\angle ACB=\angle ACE+90^\circ-\angle CBE.$$

Так как точка $$C$$ находится внутри окружности и не лежит на диаметре $$AB$$, то луч $$CA$$ не совпадает с диаметром, а потому $$\angle ACE> \angle CBE$$. Следовательно,

$$\angle ACB>90^\circ.$$

Итак, угол $$ACB$$ тупой.